线性判别分析（Linear Discriminant Analysis）（二）

4. 实例

      将3维空间上的球体样本点投影到二维上，W1相比W2能够获得更好的分离效果。

     

      PCA与LDA的降维对比：

     

      PCA选择样本点投影具有最大方差的方向，LDA选择分类性能最好的方向。

      LDA既然叫做线性判别分析，应该具有一定的预测功能，比如新来一个样例x，如何确定其类别？

      拿二值分来来说，我们可以将其投影到直线上，得到y，然后看看y是否在超过某个阈值y0，超过是某一类，否则是另一类。而怎么寻找这个y0呢？

      看

     

      根据中心极限定理，独立同分布的随机变量和符合高斯分布，然后利用极大似然估计求

     

      然后用决策理论里的公式来寻找最佳的y0，详情请参阅PRML。

      这是一种可行但比较繁琐的选取方法，可以看第7节（一些问题）来得到简单的答案。

5. 使用LDA的一些限制

      1、 LDA至多可生成C-1维子空间

      LDA降维后的维度区间在[1,C-1]，与原始特征数n无关，对于二值分类，最多投影到1维。

      2、 LDA不适合对非高斯分布样本进行降维。

     

      上图中红色区域表示一类样本，蓝色区域表示另一类，由于是2类，所以最多投影到1维上。不管在直线上怎么投影，都难使红色点和蓝色点内部凝聚，类间分离。

      3、 LDA在样本分类信息依赖方差而不是均值时，效果不好。

     

      上图中，样本点依靠方差信息进行分类，而不是均值信息。LDA不能够进行有效分类，因为LDA过度依靠均值信息。

      4、 LDA可能过度拟合数据。

6. LDA的一些变种

1、 非参数LDA

      非参数LDA使用本地信息和K临近样本点来计算

,使得

是全秩的，这样我们可以抽取多余C-1个特征向量。而且投影后分离效果更好。

2、 正交LDA

      先找到最佳的特征向量，然后找与这个特征向量正交且最大化fisher条件的向量。这种方法也能摆脱C-1的限制。

3、 一般化LDA

      引入了贝叶斯风险等理论

4、 核函数LDA

      将特征

，使用核函数来计算。

7. 一些问题

      上面在多值分类中使用的

     

      是带权重的各类样本中心到全样本中心的散列矩阵。如果C=2（也就是二值分类时）套用这个公式，不能够得出在二值分类中使用的

。

     

      因此二值分类和多值分类时求得的

会不同，而

意义是一致的。

      对于二值分类问题，令人惊奇的是最小二乘法和Fisher线性判别分析是一致的。

      下面我们证明这个结论，并且给出第4节提出的y0值得选取问题。

      回顾之前的线性回归，给定N个d维特征的训练样例

（i从1到N），每个

对应一个类标签

。我们之前令y=0表示一类，y=1表示另一类，现在我们为了证明最小二乘法和LDA的关系，我们需要做一些改变

     

      就是将0/1做了值替换。

      我们列出最小二乘法公式

     

      w和

是拟合权重参数。

      分别对

和w求导得

     

     

      从第一个式子展开可以得到

     

      消元后，得

     

     

      可以证明第二个式子展开后和下面的公式等价

     

      其中

和

与二值分类中的公式一样。

      由于

      因此，最后结果仍然是

     

      这个过程从几何意义上去理解也就是变形后的线性回归（将类标签重新定义），线性回归后的直线方向就是二值分类中LDA求得的直线方向w。

      好了，我们从改变后的y的定义可以看出y>0属于类

，y<0属于类

。因此我们可以选取y0=0，即如果

，就是类

，否则是类

。

      写了好多，挺杂的，还有个topic模型也叫做LDA，不过名字叫做Latent Dirichlet Allocation，第二作者就是Andrew Ng大牛，最后一个他导师Jordan泰斗了，什么时候拜读后再写篇总结发上来吧。