巧作基准平行线简解一类向量题

文/邹生书(许兴华数学/选编)

巧作基准平行线简解一类向量题

向量集数与形于一身，向量的两面性使得它在高中数学中有着不可替代的作用，向量有着丰富的内涵与优美性质。平面向量在高考、模拟考和数学竞赛中是热点考题，其中有一类以平面几何图形为背景，以向量线性关系为载体的一次式的取值问题倍受命题人青睐，这类问题最终都可转化为如下一般性问题：

这类试题多以选择填空题形式出现，题小灵巧解法多样。试题呈现动与静相随，数与形结合，向量与几何交融，能力立意综合性强难度大。本文先给出解决这类问题的理论依据——等和线定理，然后对这类问题进行分类并结合试题解读巧作基准平行线运用等和线定理简解这类平面向量问题。

1.等和线定理

2.作基准平行线用等和线定理解题举例

下面对基底向量与表示向量的动态情况进行题型分类，然后通过经典试题说明作基准平行线运用等和线定理可以简单快捷地解答这类向量问题。

2.1 定基底定向量型

等和线法本质上与二元线性规划问题中求线性目标函数的最值或取值范围的图解法完全类似，用的都是平行线法。用等和定理作基准线的平行线，将向量问题转化为几何问题来处理，最后主要运用平行线分线段成比例定理求线段比值，从而得出所求值或取值范围使问题得以解决。用等和线法求这类向量问题的值或值域，起点高落点低，高观点低运算，解法形象直观，一旦掌握则答案唾手可得。

【作者简介】邹生书，男，湖北大学数学本科毕业，理学士学位，中学高级教师，黄石市高中骨干教师。主要从事高中数学教学、解题研究和探究性学习等。曾在《数学通报》、《数学通讯》、《数学教学》、《中学数学》等全国20多种省级或国家级学术期刊上发表教学论文290多篇。指导的2012届毕业生潘明财、余敦刚撰写的论文《正多边形一个优美定值的研究性学习》，荣获《数学通讯》11年高中生数学论文竞赛特等奖，同时在《数学通讯》杂志上发表。（下图为作者近照）