海伦
　
辽宁师范大学 梁宗巨
　
　　海伦[Hero(或Heron)of Alexandria] 约公元62年前后活跃于亚历山大。数学、物理、气体力学、机械学．
生存的年代
　
　　海伦生活的年代可能是历代数学家中争议最大的，各家的意见有好几百年的出入．下面列举几种较有影响的说法：
　　(1)将海伦和蒂西比奥斯(Ctesibius)联系起来有一种《武器制造法》(Belopoeica，On the construction ofengines of war)的手抄本，将蒂西比奥斯的名字和海伦连在一起作为篇名．还有一本不知名的拜占廷作者写于10世纪的书中有这样的词句：“阿斯克拉(Ascra，古希腊地名)的蒂西比奥斯，亚历山大的海伦的教师”．由此推断海伦是蒂西比奥斯的学生，或者就是他的儿子．蒂西比奥斯是机械发明家，曾发明一种水钟，可能是漏壶(clepsydra)一类的器械，还有利用水力或气压驱动的各种机械，生活于公元前3世纪末或公元前2世纪，这样海伦的活跃期应是公元前2世纪．
　　但另一本同样内容的手稿，标题是《亚历山大的海伦的武器制造法》，没有标上蒂西比奥斯．大概海伦改进了先辈的发明，后人认为他在思想或方法上师承蒂西比奥斯，并不意味着就是他直接教导的学生．
　　(2)《度量论》(Metrica)是海伦的代表作，过去一直以为它早
 坦布尔)发现它的手抄本，1903年校订出版．从中可以较准确地定出年代的上界．书中多处援引阿基米德(卒于公元前212年)的工作，至少三处引用阿波罗尼奥斯(Apollonius，约卒于公元前190)，又引用过关于“圆内直线(即弦)”的书．在希帕霍斯(Hip-parchus，约公元前180—约前125年)之前，无人实际作出弦表，故估计引用的是他的书．据此推断海伦活动年代不早于公元前150年．另一方面，帕波斯(Pappus)大量摘引海伦的著作，而帕波斯的书大致完成于戴克里先(Diocletian)统治时期(284—305)，由此界定海伦的年代在公元前150—到公元250年之间，这上、下限距离仍然很大．
　　(3)维特鲁维厄斯(M．Vitruvius Pollio，公元前1世纪上半期—约公元前25年)是罗马有名的建筑学家，以10卷的《建筑学》著称于世．在这书的第7卷中列举了12位机械师，如阿尔希塔斯(Archytas，公元前375)、阿基米德(Archimedes，公元前287—前212年)、蒂西比奥斯、菲隆(Phiton of Byzantium)等，还有一些不甚知名的，但没有列海伦．较合理的解释是他在维特鲁维厄斯之后．又两人使用的器械相异之处甚多，如维特鲁维厄斯的路程计(hodometer)是走—罗马里就有一块小石子落在盒子里，而海伦的仪器是用指针指示全程．可见前者没有看到海伦的设计．据此可以将海伦的年代定在公元后．
　　(4)L．J．M．科卢梅拉(Columella，约公元23—79年)是农业、天文学家．他所用的计算公式甚至实际数值很多和海伦是一致的．包括弓形面积的近似公式(b是底，h是高)：
 
　
自然可以推想他们是同时代的人．
　　(5)和托勒密(Ptolemy，约公元100—约170年)比较，应将海伦放在托勒密之前．普罗克洛斯(Proclus，公元410—485年)曾指出：托勒密认为用古人的水钟来测量太阳的视直径是不可靠的．所谓水钟应当就是海伦描述的那一种．因此海伦应早于托勒密．但T．L．希思(Heath)比较了两人的著作后得出相反的结论，说海伦在后，而且比帕波斯早不了多少，也就是应为3世纪的人．而W．施密特(Schmidt)却将活动年代定在公元50年前后．
　　(6)最有说服力的是根据一次月食来确定年代．海伦的重要著作《测量仪器》(On the Dioptra)描述一种“照准仪”(dioptra或diopter)的工具，其功能类似现代的经纬仪，用作测量及天文观测．他特别指出可以测量可望不可即的物体的高和距离．在这本书里，海伦利用可在两地同时看到同一次月食的道理，推出两地的地方时差，从而算出两地的距离．他选定亚历山大和罗马这两个地方作为试点，某一年在春分前10天发生一次月食，在亚历山大开始于夜里“五更”(fifth watch)．数学史家O．诺伊格鲍尔(Neugebauer，1899—)断定这次月食发生在公元62年，而且在500年间没有类似的月食．日月食的推算是可靠的，因此将海伦的活跃年代定在公元62年前后也是可信的．诺伊格鲍尔的论断发表于1938年，以后的学者大多数以此为准．
　　(7)还有一种说法值得一提，曾有人认为海伦有两个，老海伦生存于公元前2—3世纪，是工程师和发明家，而另一个小海伦是7—8世纪的人．那本载有三角形面积公式的《测量仪器》乃是小海伦所作．理由是公式的推导是那么复杂而有独创性，但却从未为老海伦以后的古代学者所引用．此说出自M．玛力(Marie，1883)，也为M．沙勒(Chasles．1793—1880)所提倡．但因为没有足够的证据证实另一个数学家海伦的存在，此说已渐被人们放弃．不过在公元900年左右确实还有一个海伦(Hero ofConstantinople)，主要贡献是测量学和机械而不是三角形面积公式．
　　综上所述，以公元62年前后为海伦活动的年代是合适的．
　
主要著作
　
　　海伦留下的著作列举如下：
 
　　2．《测量仪器》(On the dioptra)，1814年文图里(Venturi)校订出版意大利文版．1858年才由A．J．H．樊尚(Vincent)出版希腊文本．
　　3．《气体力学》(Pneumatica)，最先由F．科曼迪诺(Comm-andino，1509—1575)译成拉丁文出版(1575)，希腊文本则由泰夫诺(Thévenot)校订出版(1693)．
　　4．《自动机建造技术》(On the art of constructing automata)或《自动舞台》(The automaton-theatre)，最初由B．巴尔迪(Ba-ldi)译成意大利文出版(1589)，希腊文本收入《海伦全集》(Her-onis Opera，vol．Ⅰ，1899)中．
　　 吕斯托夫(Riüstow，1853)，韦歇(Wescher，1867)等人校订出版．
　　6．几何学方面的著作有《定义》(Definitiones)，《几何》(Ge-ometria)，《测量》(Geodaesia)，《测体积学》(Stereometrica)等．
　　此外还有若干关于机械发明的著作．海伦的特点是多才多艺，善于博采众长．在著作中大量援引前人的成果，如经常提到阿基米德、狄俄尼索多罗(Dionysodorus，约公元前2、3世纪)、欧多克索斯(Eudoxus)、柏拉图(Plato，约公元前427—约前347年)、埃拉托塞尼(Eratosthenes，约公元前274—前194年)等．在论证中并不十分讲究传统的严格性，而是大胆地使某些经验性的近似公式．特别注重数学的实际应用，他发明的各种精巧器械，比理论上的成就更为人们所推崇．
　
《度量论》内容简介
　
　　全书共3卷，卷Ⅰ讨论平面图形的面积，卷Ⅱ是立体图形的体积，卷Ⅲ讨论将图形分成比例部分．卷Ⅰ在序言中简要描述了几何学发展的过程，它起源于面积的度量，以后扩充到立体．欧多克索斯最先证明圆柱的体积等于同底等高的锥体的3倍，而阿基米德最先证明球面积是此球的大圆的4倍，是外切圆柱面积的2/3．他们都是度量理论的先驱者．
　　接着给出一般三角形面积的计算法．设已知△ABC的三边a，b，c，求面积有两法：第一法是先算出高，底乘高之半即面积；第二法是用“海伦公式”．
 
　
　　第1法的根据就是欧几里得《几何原本》卷Ⅱ命题12，13，相当于余弦定律：
 
　
　　∠C是锐角时，c2＜a2+b2，公式右端取-号，∠C是钝角时，c2＞a2＋b2，公式右端取+号．于是
　
 
　　 
　　《度量论》卷Ⅰ第5、第6题给出的例是a，b，c等于14，15，13；11，13，20．两例的高h都是12，面积是整数．但有的例高不是整数．如在另一本书《几何》中，三边等于8，4，6，从而CD=
 
　　fraction，)即分子是1的分数，使人大惑不解．其实在希腊早已有一般
 
ξ，δ分别表示100，60，4，连起来就是164，分子4写在下面，和现在的习惯恰好相反．当时是没有分数线的．下面接着将“单分数”开方，求出
 
 
 
　　
　　　　　　　 
 
　　已知三边求三角形面积的第2种算法是用公式
 
　
　　其中a，b，c是三边，s是半周长，△是面积．这是有名的“海伦公式”．在卷Ⅰ的第8命题中给出几何证明如下：
 
　
　　作内切圆DEF，O是圆心，半径r=OD=OE=OF．联O至A，B，C，及各切点D，E，F．则
 
　
　　三式相加得sr=△，其中s=(a+b+c)/2．延长CB至H，使HB=AF，易知HC=s。
　　作BL⊥BC，LO⊥OC，二者交于L，则B，O，C，L 4点共圆，于是∠BLC与∠BOC互补，但∠FOA也与∠BOC互补，故∠BLC=∠FOA，
△BLC∽△FOA．
　　　　　　 
　　由此得
　　　　　　 
　
　　于是 (HC·OD)2=HC·HB·BD·DC．
　　左端是(sr)2=△2，右端4条线段分别等于s，s-a，s-b，s-c，即相当于公式(1)．原文全用文字叙述，没有写成这样整齐的公式，只指出各线段的作法，如HB等于半周长减去BC等．
　　在证明这公式之前，先给一个例子，说明具体的算法．
　　设三边为7，8，9．相加取其半，得12，12减去7，余5，同样，12减8余4，12减9余3．12乘以5得60，再乘4得240，再乘以3，得720．求720的平方根，即为所求面积．
　　720没有有理平方根，这时要用近似算法，步骤如下：最接近720
 
 
　　原文没有继续演算下去，现推算如下：
　
　　 
 
　　 
 
　　海伦明确地使用这一公式，但没有给出证明．我们可以猜想他是这样推导的：
　　不妨设第1近似值a1是过剩的，
　
　 　　　　　　　　　　　　
　　
　　
　　难证明a2比a1更接近真值．事实上a2也是过剩的① 立．
，
 
　　若a1是不足的，由公式(2)定义的a2同样是过剩的，而且也一样
 
过第n位数字的半个单位，则a2的误差不超过第2n-1位数字的1/8．换句话说，使用(2)式一次，近似值的准确位数大约加倍，因此这一公式常称为“平方根倍位法”．
　　(2)写成
 
 
　　还有一种形式是
 
　
　　被开方数N改写成它的近似值(即a1)加上误差b，而右端就是a2．
　　这一类公式源远流长，中国古代叫做“不加借算”，印度，阿拉伯国家也在使用，甚至可上溯到公元前一千多年的巴比伦．的证明，海伦在《测量仪器》中的第30题再一次给出．但根据阿拉伯数学比鲁尼(Abū’l Raihān al－Bīrūni，973—1050以后)的记载，这公式是阿基米德发现的，这一点已得到公认．不过海伦公式的名称已为世界各国所习用，很难再改过来．
　　印度婆罗摩笈多(Brahmagupta，约598—665以后)在628年给出四边形面积
 
　
　　(a，b，c，d是四边长，s是半周长，实际只适用于圆内接四边形)，若其中一边d=0，则成三角形，公式相应变成(1)．(见［9］．)
　　我国秦九韶(约1202—1261)在《数书九章》(1247)中也独立给出与(1)等价的公式．
　　本卷从第17题开始，给出正多边形面积的计算法，边数从3到12．
 
　　后面的面积也都是近似值，除了正5、6、8边形较好之外，其余的近似值相当粗糙．
　　 
　　如将系数展开成连分数，可得渐近分数
 
　　
 
　　10，11，12边形的面积，近似分数的选择都不佳．正n边形面积记作Sn，列举如下：
　
 
 
 
 
差(0.03275)都大．
 
　　10，11，12边形的选择同样也是不好的．由此可知海伦在多边形计算方面顶多是因袭了前人(猜想是希帕霍斯)相当粗略的弦表，而没有在理论上加以改进．
　　《度量论》卷Ⅱ讨论立体图形体积．如描述一种“小祭坛(li-ttle altar)”，在现在立体几何中属于“拟柱体”(prismatoid)，上下底是长方形，不必相似，但对应边平行．在日常生活中很常见，如煤场的煤堆，盐滩上的盐坨，铁路旁的碎石堆等，可名为“长方台” 设上底的长、宽为a＇，b＇，下底的长、宽为a，b，高为h，书中给出体积
 
　
　　这是正确的．更简单的形式是
 
　
　　其余的公式多为前人所知．
　　卷Ⅲ讨论将图形分割成已知比，基本上采自阿基米德的工作．
　
其他工作
　
　　《测量仪器》是海伦另一本代表作．其中描述一种仪器，功能类似现代的经纬仪．接着介绍如何使用这种仪器去解决各种测量问题．如(1)挖一个隧道，从山的两侧开始，找准方向，使隧道准确会合；(2)确定两点之间高度的差；(3)测量可望而不可即的两点间的距离；(4)测沟渠的深；还有各种高度和距离的测量问题，包括利用同时看到同一次月食，算出罗马和亚历山大之间的距离．本书最后叙述如何用齿轮的结构，用一个给定的力去移动给定的重物．
　　 海伦还有各式各样的发明．最有名的是“汽转球”(aeolipile)，这
 
 
原意是“门”)合成，可直译为“风神之球”或“风神之门”．主要的结构是一个封闭的容器(如球或圆柱)，安装在中空的旋转轴上，球的两侧(在与轴垂直的平面上)各装一个或几个喷射弯管，蒸汽由轴的孔道进入球内，经弯管喷出，因反作用力使球旋转．常被称为世界上第一个蒸汽机．不过当时的生产力低下，没有用作实际机械动力，只被看作一种高级玩具，或用于显示“神力”的装置．如信徒们在祭坛上烧纸，容器内放出的蒸汽驱动神殿的门自动开启，使信徒们大吃一惊。
　　他还创造一种虹吸管，一种“自动售货机”，即“投入一枚硬币即自行开动”(penny-in-the-slot)的机器，灭火器，水风琴，水钟等等，简直多不胜数。他还写过《反射光学》(catoptrica)，发展了欧几里得的几何光学，但同时也接受了传统的错误观点：视觉的产生是因为眼睛发出了某种射线被物体反射回来．
　　总之，海伦有很多创造发明，给后人极大的启发，在世界技术史上占有崇高的地位．数学方面，虽然对纯理论没有重大的推进，论证有时是欠严格的，但善于运用已有知识去解决实际问题．