卡西
辽宁师范大学 梁宗巨
　
　　卡西(al-Kāshī，Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Mas’ūd) 亦称卡尚尼(al-Kāshānī)，生于卡尚(Kāshān，今属伊朗)；1429年6月22日卒于撒马尔罕(Samarkand，CanMapkaHд，今属乌兹别克)．天文学、数学．
　　卡西的生年没有确实的记载，他的活动最早见于文献的是1406年6月2日，当时他在家乡观测一次月食．卡西是阿拉伯国家中世纪最后的一位著名天文学家和数学家，人们常以他的卒年为这个时代的终结．
　　14世纪末叶，中亚细亚的跛子帖木儿(Timur the Lame或Tamburlaine，1336—1405，成吉思汗的后裔)建立了帖木儿帝国，定都撒马尔罕．他的孙子乌鲁伯格(Ulugh Bēg， 1394—1449)是一个科学家，精通天文，而且是科学、艺术的倡导者与保护人，1417—1420年，他在撒马尔罕创办了一所高级的教授科学(包括天文学)和神学的学校——马德拉撒(madrasa)．大约4年之后，又筹建一座三层楼的天文台，招聘一批科学家在那里工作，使撒马尔罕成为东方最重要的科学中心．1447年，乌鲁伯格继承王位成为苏丹，进一步加强学术活动，可惜两年后被刺死，他倡导的事业随之而衰落．
　　卡西的科学生涯是和乌鲁伯格息息相关的．他曾是一个医生，但他渴望从事天文与数学的研究．在长期贫困与徬徨之后，终于在撒马尔罕找到一个稳定而又荣耀的职位，即在乌鲁伯格的宫邸协助策划开展科学工作．卡西何时到撒马尔罕已不可考，只知道在1424年他曾和乌鲁伯格讨论过有关天文台的规划．参加讨论的还有卡迪·扎达·鲁米(Qādī zāda al-Rumī)和另一个来自卡尚的穆因丁(Mu'in al-Dīn)．有的书将鲁米和卡西混淆了，以为是同一个人．其实卡西是第一任台长，卡西去世后，鲁米继任第二任台长．
　　卡西积极参加天文台的修建和仪器的装备，成为乌鲁伯格的得力助手和合作者．在给父亲的一封信中，卡西极务赞扬乌鲁伯格的数学才能，说他有渊博的知识，组织活动能力也很强．卡西还强调当时讨论科学问题的自由空气，没有这种空气，科学的进步是不可能的．
　　乌鲁伯格对待学者很宽厚，他谅解卡西对宫廷礼仪的疏忽，以及缺乏良好的生活习惯．在《乌鲁伯格历》(Ulugh Bēg's zīj)的序中，乌鲁伯格提到卡西的死，说“他是一位杰出的科学家，是世界上最出色的学者之一，通晓古代科学，并推动其发展，他能解决最因难的问题”．
　　在撒马尔罕期间，卡西的学识已臻成熟，连续完成了他一生中最有价值的著作．1424年7月写成《圆周论》(Risāla al-muhītīyya,The treatise on the circumference)，得到当时世界上最精确的圆周率值．1427年3月2日完成《算术之钥》(Miftāh alhisāb , The key of arithmetic)，这是一本初等数学的百科全书，题献给乌鲁伯格．上述二书已由苏联的罗森菲尔德(Б．A．Poэенфельд)等从阿拉伯文译成俄文．另一本《论弦与正弦》(Risāla al-watar wa'l-jaib, The treatise on the chord and sine)给出sin1°的精确值，未记日期，但初稿显然写在《算术之钥》之前，因《算术之钥》的序言中提到它．卡西的另一项任务是参与制定《乌鲁伯格历》，这是一部讨论天文、历法的书，包括星表和数学用表．卡西肯定投入巨大的精力并做出了贡献．不过在他生前只完成开头的理论部分，这部历法在卡西死后很多年才由他的后继者完成．
　　圆周率的计算
　　圆周率π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平．我国祖冲之在公元462年算出π的8位可靠数字：
3.1415926＜π＜3.1415927．
　　直到1424年，卡西才打破这个世界记录．
　　他所用的方法仍然是求出圆内接与外切正多边形的周长．从正6边形开始，每次边数加倍，这一点和阿基米德、刘徽相同，但计算过程各有特点．
　　卡西首先根据欧几里得几何证明一个几何命题，然后导出所需要的计算公式．为简单起见，下面用现代三角法来说明他所用的公式．
 
　　如图，设AB=d=2r是圆的直径，r表半径．an，cn是内接于圆的直
 
又∠BAD=∠DAC=β．则
cn=dcos2β，
cn+1=dcosβ．
 
　　即
 
　　如已知cn，通过此式即可得cn+1.an可通过勾股定理，由cn算出：
 
　　设an是内接正多边形的一边，那么an+1就是边数加倍的内接正多边形的一边．
 
 
 　
　　这样算出一系列的cn(n＝3·2n)，一直算到n=28，即
3·228=805306368
　　边，得到
 
　　及
 
　　的值．a28乘以边数3·228，便是圆内接正3·228边形的周长．类似地，可以求出外切正3·228边形的周长．最后取二者的算术平均来作圆周长的近似值，用60进分数表示出来(取r=1)：
6°16'59"28Ⅲ1Ⅳ34Ⅴ51Ⅵ46Ⅶ14Ⅷ50Ⅸ
　　此处借用60进角度的表示法，6°表示6是整数，后面是60进分数．
　　卡西在《圆周论》的第8节中又将此值改写成10进分数(即小数)
6.2831853071795865．
　　除以直径2，即得圆周率
π=3.14159265358979325．
　　它有17位准确数字，打破了祖冲之保持了900多年的世界记录．
　　1596年，L．V．柯伦(Ceulen)用内接及外切正60·233(=515 396 075 520)边形算出小数后20位，才打破了卡西保持一百多年的记录．
　　值得注意的是，这里出现了10进小数的记数法．在伊斯兰国家，这不是最早的．5个世纪以前，乌格利迪西(al-Uqlīdisī)已认识到小数的优越性，并在书中使用．不过未被后人所接受(文献［14］，p．481)．最先系统地介绍小数的，一般认为还是卡西．他在另一本重要著作《算术之钥》中进一步阐述小数的理论，指出小数与60进分数互化的方法．
　　中国自古以来就用10进记数法，所以小数的应用也很早．刘徽注《九章算术》(公元263年)，在“少广”章开方术下面的注中就提到小数(虽然未有现代的符号和名称)，比西方早千余年．有理由猜想阿拉伯国家的10进小数是中国传过去的(文献[9]，p.268)．
　　sin1°的计算
　　卡西在数值计算方面的另一项成果是给出sin1°的精确值，记载在他的《弦与正弦论》一书中．在他之前，艾布瓦发(Abu’l-Wafā)及伊本尤努斯(Ibn Yūnus)曾研究过这一问题，但结果不够精确．
　　11世纪时，伊斯兰数学家已知三等分角问题导致一个三次方程
ax=b＋x3．
　　比鲁尼(al-Bīrūnī)曾利用这一类方程近似地作出正九边形，但方法已失传．卡西则创设一种求方程近似根的迭代法．设方程
 
　　有一个很小的根，忽略其3次幂，令第1近似值为
 
　　 
　　 
　　卡西的方法，用现代三角的术语来说，是先求出sin 72°，sin60°足够精确的值，再利用sin12°=sin(72°-60°)及半角公式算出sin 3°，根据三倍角公式有
Sin 3°=3 sin1°-4sin31°，
　　记x=sin1°，则
 
　　 
 
　　卡西定半径为60，使用60进记数法．在实际计算中并不是逐个求出x2，x3，…而是找到每一个的修正值．最后的结果是
1°2'49"43Ⅲ11Ⅳ14Ⅴ44Ⅵ16Ⅶ26Ⅷ17Ⅸ，
　　相当于半径为1时的10进小数
0.017452406437283510
　　前16位数字都是准确的，最后一位数才出现误差．
　　后来卡迪·扎达·鲁米著《论sin 1°的求法》(Risāla fi抇ljayb，Treatise on the determination of sin1°)，阐述卡西的方法．鲁米的孙子米林·切莱比(Mīrīm Chelebi)进一步改进其法，使计算步骤减少，可更快地求出具有要求精确度的近似值．这是中世纪代数方面最突出的成就之一．数学史家H．汉克尔(Hankel，1839—1873)评论道：“其精巧与优美不亚于西方韦达以后的近似计算．”
　　《算术之钥》
　　《算术之钥》是卡西著作中篇幅最大的，它几乎网罗了当时的全部数学知识，堪称一部初等数学大全．它除了满足一般学生的需要外，对于从事实际工作的读者，如天文学家、测量员、建筑师、商人等也有帮助．其内容包括算术、代数与几何．书名的本身就表明作者把算术看作解决一切问题的钥匙，只要这问题能化作计算．卡西给算术下的定义是：“一种科学，它可以借助已知量去寻求未知量的数值”．此书表达清晰，结构精良，方法实用，故深受读者欢迎，被用作手册传诵数百年之久．
　　《算术之钥》共分5卷，内容分别是：卷1，整数的算术；卷2，分数的算术；卷3，天文学家的计算法；卷4，平面与立体图形的度量；卷5，用代数方法及双试位法解题．
　　在第1卷中卡西详细介绍了整数开方的一般方法．根的整数部分用类似秦九韶法[西方称鲁菲尼(Ruffini)-霍纳(Horner)法]来求得．如果是不尽根，
 
　　分数部分按公式
 
　　求出其近似值．
　　在书中卡西没有使用符号和公式，一切计算都是用文字叙述的．在阐明开方法的同时，还作出二项式系数的表，即帕斯卡三角形(或贾宪三角形)，写到(a+b)n展开式n=9时的系数．在卡西之前，阿拉伯国家已有不止一个人造过这个三角形，如凯拉吉(al－Karajī)、奥马海亚姆(Omar Khayyam)、纳西尔丁(Nasīrad－Dīn al－Tūsī)等．不过都没有留传下来．
　　这一卷第5节还举出一个开5次方的实例：求
N=44240899506197
　　的5次方根．根的整数部分是a=536，以此作第1近似值．第2近似值按下式来计算：
 
　　分母是用二项展开式来算的．最后结果是
 
　　第2，3卷阐述了10进分数(小数)，建立了一套和60进制并列的运算法则，两者可以互换．不懂天文学60进制的人也容易掌握小数方法，因此很快传播开来，对伊斯兰国家及欧洲都产生了深远的影响．卡西详细叙述了有限小数，但未涉及循环小数．他创用特殊的小数记号，有时用一竖来分隔整数与小数部分，有时又用不同的颜色来区别．
　　第4卷是几何学，讨论了各种平面及立体图形的定义、性质及量度方法．
　　第5卷很重要，它给出一次到四次方程的解法．11—12世纪时，奥马海亚姆曾用圆锥曲线去解3次方程．4次方程在卡西之前只是偶然出现过，而卡西则全面地加以分类研究．有时他还用“双试位法”来解．
　　13—14世纪，中亚细亚地区和中国交往频繁．成吉思汗之孙旭烈兀(Hulagu，1219—1265) 1256年进攻伊朗高原， 1258年占领巴格达，建立伊儿汗国．他从中国带了一些学者到伊朗去，在他的宫廷中和当地的学者一起从事研究工作．在这之前，文化已有零星的交流．因此阿拉伯的天文学家颇知中国的学术．10进记数法、整数的开方、高次方程的数值解法以及贾宪三角形等等都是中国数学的精华．卡西《算术之钥》的许多内容和中国算法如出一辙，受到中国的影响是可以肯定的．当然不排除卡西本人的创造发明．
　　天文历法著作
　　早在1407年，卡西就写成《天的阶梯》(The stairway of heaven)，论述天体的距离与大小．又于1416年写成《观象仪器》(Treatise on… observational instruments)，介绍了包括浑仪(armillary sphere)在内的8种天文仪器的沟造，其中有些是卡西的独创．他还修订了纳西尔丁领导下制定的《伊儿汗历》(Ilkhānī Zīj)，写成《修正的伊儿汗历》(Khāqānī Zīj)．在绪论中，他详细描述了平均月球运动及近点月(anomalistic)运动，这是以他三次在卡尚的月食观测以及在托勒密《天文学大成》中的三次月食记载为依据的．这本历法罗列了各种历法：伊斯兰教的阴历，波斯的阳历，希腊-叙利亚历，奥马海亚姆改良的阳历，中国-维吾尔历，最后是伊儿汗历．书中载有60进每隔l′的4位正弦和正切表．还有黄道坐标与赤道坐标互化的表，以及有关日、月、行星、恒星的好几种表．地理方面，给出516个点的经纬度．
　　卡西还发明一种“天象盘”(plate of heavens)，形状像“星盘”(astrolabe)，可以确定行星的黄经、黄纬、留(station)、逆行(retrogradation)以及到地球的距离等，记在《天象盘构造方法》(Nuzha al－hadāiq…，On the method of construction of theinstrument called plate of heavens，1416)中．