在之前介绍过决策树的ID3算法实现,今天主要来介绍决策树的另一种实现,即CART算法。
Contents
1. CART算法的认识
2. CART算法的原理
3. CART算法的实现
1. CART算法的认识
Classification And Regression Tree,即分类回归树算法,简称CART算法,它是决策树的一种实现,通
常决策树主要有三种实现,分别是ID3算法,CART算法和C4.5算法。
CART算法是一种二分递归分割技术,把当前样本划分为两个子样本,使得生成的每个非叶子结点都有两个分支,
因此CART算法生成的决策树是结构简洁的二叉树。由于CART算法构成的是一个二叉树,它在每一步的决策时只能
是“是”或者“否”,即使一个feature有多个取值,也是把数据分为两部分。在CART算法中主要分为两个步骤
(1)将样本递归划分进行建树过程
(2)用验证数据进行剪枝
2. CART算法的原理
上面说到了CART算法分为两个过程,其中第一个过程进行递归建立二叉树,那么它是如何进行划分的 ?
设代表单个样本的个属性,表示所属类别。CART算法通过递归的方式将维的空间划分为不重
叠的矩形。划分步骤大致如下
(1)选一个自变量,再选取的一个值,把维空间划分为两部分,一部分的所有点都满足,
另一部分的所有点都满足,对非连续变量来说属性值的取值只有两个,即等于该值或不等于该值。
(2)递归处理,将上面得到的两部分按步骤(1)重新选取一个属性继续划分,直到把整个维空间都划分完。
在划分时候有一个问题,它是按照什么标准来划分的 ? 对于一个变量属性来说,它的划分点是一对连续变量属
性值的中点。假设个样本的集合一个属性有个连续的值,那么则会有个分裂点,每个分裂点为相邻
两个连续值的均值。每个属性的划分按照能减少的杂质的量来进行排序,而杂质的减少量定义为划分前的杂质减
去划分后的每个节点的杂质量划分所占比率之和。而杂质度量方法常用Gini指标,假设一个样本共有类,那么
一个节点的Gini不纯度可定义为
其中表示属于类的概率,当Gini(A)=0时,所有样本属于同类,所有类在节点中以等概率出现时,Gini(A)
最大化,此时。
有了上述理论基础,实际的递归划分过程是这样的:如果当前节点的所有样本都不属于同一类或者只剩下一个样
本,那么此节点为非叶子节点,所以会尝试样本的每个属性以及每个属性对应的分裂点,尝试找到杂质变量最大
的一个划分,该属性划分的子树即为最优分支。
下面举个简单的例子,如下图
在上述图中,属性有3个,分别是有房情况,婚姻状况和年收入,其中有房情况和婚姻状况是离散的取值,而年
收入是连续的取值。拖欠贷款者属于分类的结果。
假设现在来看有房情况这个属性,那么按照它划分后的Gini指数计算如下
而对于婚姻状况属性来说,它的取值有3种,按照每种属性值分裂后Gini指标计算如下
最后还有一个取值连续的属性,年收入,它的取值是连续的,那么连续的取值采用分裂点进行分裂。如下
根据这样的分裂规则CART算法就能完成建树过程。
建树完成后就进行第二步了,即根据验证数据进行剪枝。在CART树的建树过程中,可能存在Overfitting,许多
分支中反映的是数据中的异常,这样的决策树对分类的准确性不高,那么需要检测并减去这些不可靠的分支。决策
树常用的剪枝有事前剪枝和事后剪枝,CART算法采用事后剪枝,具体方法为代价复杂性剪枝法。可参考如下链接
剪枝参考:http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2709922.html
3. CART算法的实现
以下代码是网上找的CART算法的MATLAB实现。
- CART
-
- function D = CART(train_features, train_targets, params, region)
-
- % Classify using classification and regression trees
- % Inputs:
- % features - Train features
- % targets - Train targets
- % params - [Impurity type, Percentage of incorrectly assigned samples at a node]
- % Impurity can be: Entropy, Variance (or Gini), or Missclassification
- % region - Decision region vector: [-x x -y y number_of_points]
- %
- % Outputs
- % D - Decision sufrace
-
-
- [Ni, M] = size(train_features);
-
- %Get parameters
- [split_type, inc_node] = process_params(params);
-
- %For the decision region
- N = region(5);
- mx = ones(N,1) * linspace (region(1),region(2),N);
- my = linspace (region(3),region(4),N)' * ones(1,N);
- flatxy = [mx(:), my(:)]';
-
- %Preprocessing
- [f, t, UW, m] = PCA(train_features, train_targets, Ni, region);
- train_features = UW * (train_features - m*ones(1,M));;
- flatxy = UW * (flatxy - m*ones(1,N^2));;
-
- %Build the tree recursively
- disp('Building tree')
- tree = make_tree(train_features, train_targets, M, split_type, inc_node, region);
-
- %Make the decision region according to the tree
- disp('Building decision surface using the tree')
- targets = use_tree(flatxy, 1:N^2, tree);
-
- D = reshape(targets,N,N);
- %END
-
- function targets = use_tree(features, indices, tree)
- %Classify recursively using a tree
-
- if isnumeric(tree.Raction)
- %Reached an end node
- targets = zeros(1,size(features,2));
- targets(indices) = tree.Raction(1);
- else
- %Reached a branching, so:
- %Find who goes where
- in_right = indices(find(eval(tree.Raction)));
- in_left = indices(find(eval(tree.Laction)));
-
- Ltargets = use_tree(features, in_left, tree.left);
- Rtargets = use_tree(features, in_right, tree.right);
-
- targets = Ltargets + Rtargets;
- end
- %END use_tree
-
- function tree = make_tree(features, targets, Dlength, split_type, inc_node, region)
- %Build a tree recursively
-
- if (length(unique(targets)) == 1),
- %There is only one type of targets, and this generates a warning, so deal with it separately
- tree.right = [];
- tree.left = [];
- tree.Raction = targets(1);
- tree.Laction = targets(1);
- break
- end
-
- [Ni, M] = size(features);
- Nt = unique(targets);
- N = hist(targets, Nt);
-
- if ((sum(N < Dlength*inc_node) == length(Nt) - 1) | (M == 1)),
- %No further splitting is neccessary
- tree.right = [];
- tree.left = [];
- if (length(Nt) ~= 1),
- MLlabel = find(N == max(N));
- else
- MLlabel = 1;
- end
- tree.Raction = Nt(MLlabel);
- tree.Laction = Nt(MLlabel);
-
- else
- %Split the node according to the splitting criterion
- deltaI = zeros(1,Ni);
- split_point = zeros(1,Ni);
- op = optimset('Display', 'off');
- for i = 1:Ni,
- split_point(i) = fminbnd('CARTfunctions', region(i*2-1), region(i*2), op, features, targets, i, split_type);
- I(i) = feval('CARTfunctions', split_point(i), features, targets, i, split_type);
- end
-
- [m, dim] = min(I);
- loc = split_point(dim);
-
- %So, the split is to be on dimention 'dim' at location 'loc'
- indices = 1:M;
- tree.Raction= ['features(' num2str(dim) ',indices) > ' num2str(loc)];
- tree.Laction= ['features(' num2str(dim) ',indices) <= ' num2str(loc)];
- in_right = find(eval(tree.Raction));
- in_left = find(eval(tree.Laction));
-
- if isempty(in_right) | isempty(in_left)
- %No possible split found
- tree.right = [];
- tree.left = [];
- if (length(Nt) ~= 1),
- MLlabel = find(N == max(N));
- else
- MLlabel = 1;
- end
- tree.Raction = Nt(MLlabel);
- tree.Laction = Nt(MLlabel);
- else
- %...It's possible to build new nodes
- tree.right = make_tree(features(:,in_right), targets(in_right), Dlength, split_type, inc_node, region);
- tree.left = make_tree(features(:,in_left), targets(in_left), Dlength, split_type, inc_node, region);
- end
-
- end
在Julia中的决策树包:https://github.com/bensadeghi/DecisionTree.jl/blob/master/README.md
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