《高中物理思维方法集解》试笔系列 —— “功、功率”与“功能关系”

   

毫无疑问，高中物理中功（率）、能的计算是十分重要的。而精确的描述“功能关系”，即“功是能量转化的量度”。针对功和机械能而言，重力（或弹力）的功等于重力（或弹性）势能的变化——“势能规律”，合力的功等于动能的变化——“动能定理”。本文拟就有关问题做一些讨论。

                    一、解题依据

欲解决此类问题，归纳以下几条依据：

㈠功 

，其中

为

的夹角

㈡功率⑴

    ⑵

 特殊的，若

亦即

方向一致，则

 。  

㈢功能关系 

，即功是能的转化的量度。

㈣.汽车牵引力的功率P=FV   P平=FV平      P:瞬时功率       P平:平均功率

㈤汽车以恒定功率、加速度启动和汽车最大行驶速度

，V_max=P_额/f。

㈥势能规律   ⑴

，即重力的功等于重力势能的变化（减量）；重力的功与路径无关，只与始末位置的高度差（

）有关。⑵^*

,即弹力的功等于弹性势能的变化（减量）；弹力的功与路径无关，只与始末形变（伸长）量的平方差（

）有关。

㈦动能定理 

，即合力的功等于动能的变化（增量）。

*动能定理分量式

 

 并且总有  

                       二、精选例题

[例题1](09广东物理) 某缓冲装置可抽象成图—1所示的简单模型，图中

为原来相等，进度系数不同的轻质弹簧，下列表述正确的是

A．缓冲效果与弹簧的进度系数无关

B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等

C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等

D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变

 

[例题2] （07上海）物体沿直线运动的v-t关系如图—2所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则

(    )

A.从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W。      

B.从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W。

C.从第5秒末到第7秒末合外力做功为W。 

D.从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W。

 

 [例题3]（08江苏）如图—3所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度v₀运动，设滑块运动到A点的时刻为t=0，距A点的水平距离x，水平速度为v_x.由于v₀不同，从A点到B点的几种可能的运动图象如下列选项所示，其中表示摩擦力做功最大的是（    ）

 

 

 

 

 

[例题4]（08上海物理）物体做自由落体运动，E_k代表动能，E_p代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面。下列图—3所示图像中，能正确反映各物理量之间关系的是（    ）

 

 

 

 

 

[例题5]（08宁夏）一滑块在水平地面上沿直线滑行，t=0时其速度为1 m/s。从此刻开始滑块运动方向上再施加一水平面作用F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图—5所示。设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为

则以下关系正确的是（    ）

    A.

    B.

 

    C.

    D.

 

 

[例题6]（09宁夏） 质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图—6所示，力的方向保持不变，则

A．

时刻的瞬时功率为

B．

时刻的瞬时功率为

C．在

到

这段时间内，水平力的平均功率为

D. 在

到

这段时间内，水平力的平均功率为

[例题7] （08江苏物理）如图—7所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放。当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是（    ）

A.θ=90

                  B.θ=45

C.b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小

D.b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大

 

[例题8] (09上海)小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面。在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的两倍，在下落至离高度h处，小球的势能是动能的两倍，则h等于（        ）

（A）

         （B）

    （C）

     （D）

 

[例题9] (08上海物理)1991年卢瑟福依据α粒子散射实验中α粒子发生了＿＿＿＿（选填“大”或“小”）角度散射现象，提出了原子的核式结构模型。若用动能为1MeV的α粒子轰击金箔，则其速度约为＿＿＿＿＿m/s。（质子和中子的质量均为1.67×10^－27kg，1MeV=1×10⁶eV）

 

[例题10] (07上海物理)在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图—8所示形状，相应的曲线方程为y＝2.5 cos（单位：m），式中k＝1m^－1。将一光滑小环套在该金属杆上，并从x＝0处以v₀＝5m/s的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g＝10m/s²。则当小环运动到x＝m时的速度大小v＝__________m/s；该小环在x轴方向最远能运动到x＝__________m处。

[例题11]（06北京） 下图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图。整个雪道由倾斜的助滑雪道AB和着陆雪道DE，以及水平的起跳平台CD组成，AB与CD圆滑连接。

       运动员从助滑雪道AB上由静止开始，在重力作用下，滑到D点水平飞出，不计飞行中的空气阻力，经2s在水平方向飞行了60m，落在着陆雪道DE上。已知从B点到D点运动员的速度大小不变。（g取

）求

       （1）运动员在AB段下滑到B点的速度大小；

       （2）若不计阻力，运动员在AB段下滑过程中下降的高度；

       （3）若运动员的质量为60kg，在AB段下降的实际高度是50m，此过程中他克服阻力所做的功。

 

 

 

 

[例题12](08广东物理) （1）为了响应国家的“节能减排”号召，某同学采用了一个家用汽车的节能方法.在符合安全行驶要求的情况下，通过减少汽车后备箱中放置的不常用物品和控制加油量等措施，使汽车负载减少.假设汽车以72 km/h的速度匀速行驶时，负载改变前、后汽车受到的阻力分别为2 000 N和1950N，请计算该方法使汽车发动机输出功率减少了多少？

（2）有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图—10所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题13]（08重庆） 滑板运动是一项非常刺激的水上运动，研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力F_x垂直于板面，大小为kv²，其中v为滑板速率（水可视为静止）.某次运动中，在水平牵引力作用下,当滑板和水面的夹角θ=37°时（题图—11），滑板做匀速直线运动，相应的k=54 kg/m，入和滑板的总质量为108 kg,试求（重力加速度g取10 m/s²,sin 37°取

，忽略空气阻力）：

（1）水平牵引力的大小；

（2）滑板的速率；

（3）水平牵引力的功率.

 

 

 

 

 

 

 

[例题14](07宁夏) 倾斜雪道的长为25 m，顶端高为15 m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如图—12所示。一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v₀＝8 m/s飞出。在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲外运动员可视为质点，过渡轨道光滑，其长度可忽略。设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ＝0.2，求运动员在水平雪道上滑行的距离（取g＝10 m/s²）

 

 

 

 

 

 

 

[例题15](06广东物理) 一个质量为

的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数

。从

开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用，力F随时间的变化规律如图—13所示。求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功。

取

。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        [例题16]（07山东）如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m＝1.0 kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。已知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ＝0.5，A点离B点所在水平面的高度h＝1.2 m。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8

⑴若圆盘半径R＝0.2 m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？

⑵若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。

⑶从滑块到达B点时起，经0.6 s 正好通过C点，求BC之间的距离。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                        三、参考答案

⒈BD  ⒉CD ⒊D ⒋B ⒌B

⒍BD.[解析]0-2t₀内物体的加速度为

，2t₀时刻的速度为

，在3t₀时刻的瞬时速度

，则

时刻的瞬时功率为

，A错误；B正确；在

到

这段时间内，由动能定理可得

，则这段时间内的平均功率

，D正确。

⒎AC    ⒏ D    ⒐ 大，6.9×10⁶  ⒑ 5，

⒒[解析] （1）运动员从D点飞出时的速度 

      依题意，下滑到助滑雪道末端B点的速度大小是30m/s

          （2）在下滑过程中机械能守恒，有  

      下降高度 

         （3）根据能量关系，有 

运动员克服阻力做功 

⒓[解析] （1）

，由

得

  ①  

  ②

故                 

（2）解析：设转盘转动角速度

时，夹角θ夹角θ

座椅到中心轴的距离：

   ①

对座椅分析有：

 ②

联立两式  得

⒔[解析] （1）以滑板和运动员为研究对象，其受力如图—15所示

由共点力平衡条件可得

                   ①

                     ②

由①、②联立，得

F =810N

(2)

得

m/s

(3)水平牵引力的功率

P=Fv

=4050W

⒕[解析] 如图—16选坐标，斜面的方程为：

    ①

运动员飞出后做平抛运动

             ②

           ③

联立①②③式，得飞行时间

t＝1.2 s

落点的x坐标：x₁＝v₀t＝9.6 m

落点离斜面顶端的距离：

落点距地面的高度：

接触斜面前的x分速度：

y分速度：

沿斜面的速度大小为：

设运动员在水平雪道上运动的距离为s₂，由功能关系得：

解得：s₂＝74.8 m

 

⒖[解析] 首先，一个运动周期T=4s，半个周期t=2s, 物体所受到的摩擦力大小为f=μmg=4N.

不难求出前2秒内物体的加速度：

a₁=

=2m/s²

和2—4秒物体的加速度：

a₂=

=-2m/s²

从s₁=

a₁t² s₂=v₁t+

a₂t² v₁=a₁t等，代入已知数据容易求出前4秒的位移大小：

s=s₁+s₂=8m.

然后，反过来看为物体做初速度为零的匀加速运动，容易求出第84秒的位移

s₀=-

a₂(

)²=3m

则83秒内的位移大小应为：

s₈₃=21s-s₀=167 m

最后，第83秒的速度的大小为

v=-a₂(

)=2m/s

由动能定理得：

W_F－fs₈₃=

mv²

代入已知数据得，W_F=676J. 亦即83秒内外力F对物体做的功。

 

⒗[解析] ⑴滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得：

μmg＝mω²R

代入数据解得：      

⑵显然，滑块在A点时的速度为：

v_A＝ωR＝1 m/s

又，对A到B的运动过程，由动能定理得：

mgh－μmgcos53°×h/sin53°＝

因而，在B点时的机械能为：

⑶显然，滑块在B点时的速度为：

v_B＝4 m/s

又，滑块沿BC段向上运动时、返回时的加速度大小分别为：

a₁＝g(sin37°＋μcos37°)＝10 m/s²

a₂＝g(sin37°－μcos37°)＝2 m/s²

容易解得BC间的距离：