《高中物理思维方法集解》试笔系列

      “通导”在磁场中的“曲线运动”、“振动”

                     山东平原一中     魏德田   253100

由于“通导”运动时必受轨道、设置等条件的约束，虽然往往不能产生如带电粒子那样复杂的曲线运动。因而，讨论“通导”在磁场中的运动问题，除前文所及外，亦应考虑到其抛物线运动、转动和振动等。这不仅因为在物理学史上，许多伟大的科学家对“通导”转动的研究，直接孕育和创造出电动机，从而开创了电能利用的又一工业革命时代；而且，这种讨论和研究，对于高中物理的教学实践以及各种测试亦有重要的现实意义。

                 一、破解依据

解决此类问题，大致归纳为以下几条“依据”：

㈠计算“通导”的安培力的大小，用公式F_B=BILsinθ（特殊地，F_B=BIL），L为其有效长度，θ为B、I的夹角；判断安培力的方向，用左手定则。

㈡计算“通导”的安培力矩的大小，用公式

，其中l为安培力的力臂：或用M_B=nBIS，其中n、S为线圈匝数、面积；力矩的方向，有逆时针、顺时针的区别。

㈢“通导”处于平动平衡时，合力为零；而处于转动平衡时，则合力矩为零。

㈣“通导”的曲线运动、振动等，同样服从牛二定律、功能关系和各种守恒定律等等。

                       二、解题示例

㈠“通导”在匀强磁场中的“抛线运动”

[例题1]（高考模拟题）如图—1所示，一根长为L、电流为I的导体棒，置于两个间距亦为L、彼此平行且光滑的抛物线形导轨的A（4，4）端；整个装置处于竖直向下的匀强磁场B中（电源、开关等未画出，导线足够长）。已知抛物线方程为

(m)，且

。现使“通导”由静止开始释放，试求：

⑴导体棒到达轨道最低点O(0,0)的速度；

⑵导体棒在什么位置速度达到最大？

⑶速度的最大值为多少？（g=10m/s²）

[解析]⑴首先，分析可知“通导”在重力、支持力和安培力等作用下，沿导轨做变加速抛物线运动，如图—2所示。由“依据”㈠可知，

         

其方向水平向右。

其次，在“通导”由静止到轨道最低点的运动过程中，分别有重力mg、安培力F_B对其做正功，而支持力则始终不做功。设到达O点的速度为v_t,应用“依据”㈣（即动能定理）可得

                

依题意，又知

     

联立①②③式，考虑到A(-4,4),O(0,0),即

,从而不难求出

         

显然，其方向水平向右。

⑵然后，分析又知在速度达到最大之前的过程中，由于切向加速度存在，其速度一直增加。因而，在速度达到“最大”的C点，应满足条件：切向加速度等于零。由此可知，在C点，重力、安培力的合力F，必定与支持力 “共线”且“较小”，如图—3所示。设合力F与重力mg的夹角为θ,由于

 ,从而易知

   

再后，由数学可知，图中的F点为焦点，l为准线。由抛物线方程

及其基本性质可得

  

 显然，在等腰三角形CFE中，两底角皆为30°。从而可得

即当通导到达C（-1.15m，0.33m）点时速度有最大值。

⑶最后，我们再应用“依据”㈣（即动能定理），可得

          

联立①③⑥式,代入④⑤式的已知结果,不难求出速度的最大值

          

[点拨]事实上，“通导”自A至C为“变加速”，过O后则“变减速”，一直减速至零；然后，复向左“变加速”、“变减速”至A点速度又为零。由此可见，“通导”以C为平衡位

置做机械振动。

[例题2]如上题，若抛物线方程为

,A点坐标为（-4m，-4m）,导体棒在A点的初速度大小为v=10m/s，方向沿抛物线在该点的切线向右上，而其他条件保持不变。试求：

⑴导体棒能否到达坐标原点O。

⑵若导体棒运动到坐标原点时，而恰好脱离导轨，则其初速度应为多大？

 [解析]如图—4所示，类似地。由“依据”㈠，可得

方向向左。分析又知，“通导”在由A点运动到O点过程中，安培力、重力为运动阻力而使“通导”减速，从而做负功。若其恰好到达坐标原点O，则v_t=0,由“依据”㈣（即动能定理）可得

            

已知       

联立①②③式，代入y_O=0m,y_O=-4m,x₀=0m、y_A=-4m,g=10m/s².即可求出

          

亦即

由此可见，“通导”不能到达坐标原点。

⑵然后，由抛物线方程

，可得坐标原点O（0m，0m）的曲率半径为

而“通导”自A点至O点时，恰好脱离导轨仅有重力提供向心力，轨道支持力为零。此时最小速度亦为

         

接下来，设题设情况下“通导”的初速度为v_A^/, 同理可得

         

联立①③④⑤式，代入上述已知数据，我们可解得

          

 [点拨]此例第一小题先弄清安培力的大小和方向，继之对“通导”做受力、运动分析，明确安培力、重力对其做负功，再应用动能定理予以解决。第二小题，则更应用变速圆运动、平抛运动的特殊规律，如由“圆”运动至“平抛”运动的临界速度

。

㈡“通导”在匀强磁场中的“转动”

[例题3]（高考模拟题） 如图—5为磁电式电流表的示意图。蹄形磁铁和铁芯间磁场的“磁强”为B且均匀幅向分布。线圈的匝数为n、长为L、转动半径为r,当其中通以图示方向的电流时，由于受安培力矩作用，从而发生转动。已知螺旋弹簧的反抗力矩为

,其中k为常量，

为线圈平面亦即指针的偏转角。试求线圈的偏转方向和此时通过电流的大小。

[解析]首先，应用“依据”㈠可知，线圈的两条长边所受的安培力大小相等，其方向为左下、右上，即“等大反向”，如图—6所示。从而

它们的力矩均为逆时针方向，即线圈亦为逆时针方向偏转。      

然后，应用“依据”㈢（即力矩平衡条件）可得

         

    进而， 联立①②式，即可求出通过线圈电流的大小

         

   

[例题4] （高考试题）如图—7所示，虚线围成的圆形区域内有匀强磁场，质量为m、长度为l的金属杆ab可绕过磁场中心的a轴在竖直平面内转动，杆的b端有质量为m的金属球。接通开关，回路总电阻为6Ω，杆与水平线夹30⁰角时静止。回路总电阻变为多少时杆与水平线夹60⁰角静止？

[解析]首先，分析可知当开关未接通时，因金属杆端小球的重力作用使杆ab处于竖直位置,重力力矩为零。而当开关接通后，金属杆即通过电流。应用“依据”㈠㈡，可知此“通导”受逆时针安培力矩M_B作用而发生转动，而顺时针重力力矩M_G大小增到等于逆时针安培力矩M_B时，则它可保持静止，如图—8所示。易知，M_B的大小为

      

然后，当“通导”当B、l、mg等不变，“通导”所受重力力矩M_G的力臂发生变化时。由全电路欧姆定律，“依据”㈢（即力矩平衡条件），再应用①式可得

     

代入前、后两种情况下，杆与水平线夹角、总电阻

。从而，可求出杆与水平线夹角为60⁰ 时回路的总电阻

     

[点拨]纵观例1、例2的求解过程，除必须明确安培力大小和方向外，着重应用了力矩及其平衡条件。须知，重力力矩大小是可变的。

㈢“通导”在匀强磁场中的“振动”

[例题5](’07山西模拟)在图—9中，abcd是电阻不计的金属丝制成的长方形线框。质量为m的导体棒MN的长度为l，电阻是R，它可在ab边与cd边上无摩擦的滑动，且接触良好。线框处在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场中。MN在力F的作用下，在ad与 bc之间作简谐运动，图中的点划线为其平衡位置，且点划线、MN都与ad平行。棒MN的最大速度是v_m，此过程中有下列说法，其中正确的是  （    ）

A．F就是棒MN做简谐运动的回复力

B．棒受到的安培力和回复力是同时变大或变小的

C．F与安培力大小相等时的功率为

D．F的功率与电功率总是相等的

[解析]首先，选向右为坐标正方向。分析可知当“通导”MN由静止向右运动时，由右手定则可知电流方向自N→M；再应用“依据”㈡，可知安培力方向向左为负；同理，当其向左运动时，可知安培力方向向右为正。

显然，“通导”做简谐运动时，受变化的外力F、安培力F_B的共同作用，其回复力两力的合力。故知A错。

由简谐运动定义式，可知第一个1/4周期“通导”向右加速阶段

且逐渐减小；加速时安培力

知其必定增大，前后比较可知外力F将逐渐减小。同理，在第二个1/4周期为“通导”向右减速阶段则

且逐渐增大；减速时安培力则必定减小，外力F将逐渐增大。故又知B错。

两个力F、F_B常常大小不等，由功率

公式、功能关系易知，功率

，故选项D亦错。

应用“依据”㈢、㈣，可知在O点即外力F 与安培力的合力为零时，速度达到最大值v_m。从而，由功率公式、全电路欧姆定律可得

由此可知，选项C正确。

图—10中曲线PRQ、ACB和直线MN大致表示前半周期内外力、安培力和回复力等随位移变化的规律；图—11各线则大致表示后半周期内各力随位移变化的规律。

因此，本题答案为：选项C。

[点拨]应该强调，外力、安培力皆为非线性变力，而这种变力是随位移变化而变化的。否则，也就没有此简谐运动的产生。

[例题6]（’05江苏）如图—12所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v₀.在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．
    (1)求初始时刻导体棒受到的安培力．
    (2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E_p，则这一过程中安培力所做的功W₁和电阻R上产生的焦耳热Q₁分别为多少?
    (3)导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少?

[解析]⑴首先，分析可知此“通导”受弹力T、安培力F_B作用做机械振动。由电磁感应定律、欧姆定律和“依据”㈠可得

联立①②式，即可求出

         

⑵然后，已知导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E_p，安培力所做的功为W₁，由依据㈣（即功能关系、能量守恒），得

        

进而，可知此能量变化

最终转变为焦耳热

        

⑶最后，当“通导”保持静止时，由“依据”㈢（即平动平衡条件）可知速度v、安培力F_B、弹力T必均为零，亦必有

。再根据能量转化和守恒定律可得电阻R上产生的焦耳热Q为

        

[例题7]（’08高考模拟）如图—13所示，固定的竖直光滑U型金属导轨，间距为L，上端接有阻值为R的电阻，处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧处于伸长状态，其伸长量为x₁=mg/k,，此时导体棒具有竖直向上的初速度v₀，在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。

⑴求初时刻导体棒受到的安培力

⑵求初时刻导体棒加速度的大小和方向

⑶导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？

[解析]⑴首先，分析可知导体棒在竖直方向做机械振动。选竖直向下为坐标正方向，类似例5，易得“通导”初时刻受到的安培力

其方向竖直向下。

⑵然后，除安培力外，“通导”在初时刻还受弹力T、重力mg作用，由胡克定律、“依据”㈢（即牛二定律）可得

          

联立①②③式，可以求出

加速度方向竖直向下。

⑶最后，由“依据”㈢（即平动平衡条件）可知，

，亦即“通导”将停在

+的平衡位置处。类似例6处理，设重力势能、弹性势能之和为E_P，并以OO^/为零势能面。应用“依据”㈣（即能的转化和守恒），可得

          

再联立④⑤两式，即可求出“通导”从开始运动到最终静止时间内，电阻R上产生的焦耳热

[点拨]例5、例6尽管均属于机械振动，却分明存在受力情况、振动方向等等的不同，其回复力亦不与位移大小成正比，因而此“通导”做非简谐运动。解决此类问题时，我们必须先弄清安培力的大小和方向，再对“通导”（导体棒、线圈等）进行受力、运动分析，还要明确安培力做功可导致电源势能的等量消耗，而牛顿定律、平衡条件、功能关系、能量守恒定律（注：包括机械能、内能、电势能在内）等等的应用，也往往是非常必要的。

 

                                                  (2017-08-04  经典重发)

 

 

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