《高中物理思维方法集解》试笔系列

 关于带电粒子在“叠加场”中的运动（二）

                 山东平原一中        魏德田    253100

[例题7]( ’04年江苏南通)如图—8所示，MN为一竖直放置足够大的荧光屏，距荧光屏左边

的空间存在着一宽度也为

、方向垂直纸面向里的匀强磁场。O’为荧光屏上的一点，OO’与荧光屏垂直，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（重力不计）以初速度v₀从O点沿OO’方向入入磁场区域。粒子离开磁场后打到荧光屏上时，速度方向与竖直方向成30°角。

⑴求匀强磁场磁感应强度的大小和粒子打到荧光屏上时偏离O’点的距离；

⑵若开始时在磁场区域再加上与磁场方向相反的匀强电场（图中未画出），场强大小为E，则该粒子打到荧光屏上时的动能为多少？

[解析]⑴首先，分析可知粒子从O点射入经P点射出，再沿直线运动到荧光屏上的S点，如图—9所示。

由几何关系（即弦切角等于同弧圆心角的一半）可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动转过的圆心角（即旋转角）为

。又知，其轨道半径为

    应用粒子在磁场中圆周运动的半径公式，又得

　　           

联立①②式，可以解得

　

其次，由图中线段之间的几何关系可知

 

再把①式代入上式，我们即可求出粒子打到荧光屏上时偏离O’点的距离

 

⑵然后，再加电场后，根据运动的独立性，粒子沿电场方向（向外）做匀加速运动，其运动时间亦即粒子的飞行时间。由牛二定律、速度公式可得

联立④⑤⑥式，先得到粒子离开复合场时沿电场方向的速度

最后，我们即可进一步求出粒子打在荧光屏上的动能

[点拨]本例若先求出粒子离开复合场时沿电场方向运动的位移

，再应用动能定理，可得

；进而，同样解得粒子打到荧光屏上时的动能

 。

[例题8]（高考试题）平行金属，板长1.4m，两板相距30cm，两板间匀强磁场的B为1.3×10^-3T，两板间所加电压随时间变化关系如29-1图所示。当t=0时，有一个a粒子从左侧两板中央以V=4×10³m/s的速度垂直于磁场方向射入，如图—10所示。不计a粒子的重力，求：该粒子能否穿过金属板间区域?若不能，打在何处?若能，则需多长时间?(已知a粒子电量q=3.2×10^-19C，质量m=6.64×10^-27kg)

[解析]首先，对a粒子做受力、运动的分析

内，此时两板间既有电压（或场），又有磁场。从而，可得a粒子承受的电场力F_E和洛仑兹力F_B的大小为       

 

其方向分别为竖直向下、向上。如图—11（上）所示，粒子做匀速直线运动，我们容易求出其位移

其次，在

内，两板间无电场、有磁场，因而a粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动。从而，由轨迹半径公式可得

显见，

，因此，粒子不会与金属板相碰。

然后，我们尝试计算一下a粒子做匀速圆周运动的“转动周期”。从而，由周期公式，又得

        

比较发现，a粒子在不加电压的时间

内，恰好能在磁场中“转动”一周。

依次类推，当两板间在时间

…………内施加题设电压时，a粒子将重复上述的运动过程。

综上所述，不难求出a粒子经

个“复合周期”，将飞出板外，其运动轨迹如图—11（下）所示。

[点拨]由从本例解析可见，对物体运动的形式、轨迹以及各个物理量等情况的分析是何等重要。此外，对物体运动往复型、周期性、多样性等等方面的分析和研究，我们还应投入较大的精力，做更多有益的工作。

㈢带电粒子在“（重）力电磁场”中的运动问题

 所谓“（重）力电磁场”，指由重力场、电场、磁场等叠加而成的复合场。由于处于其中粒子可受到机械力、电场力、洛仑兹力（往往为变力）等多力作用，加之以粒子的电荷性质、电场、磁场的方向等的不同，求合力、加速度、速度，进行功能分析、冲动分析，或者利用守恒定律等解决问题，都不可避免的带来较大的困难。

[例题9]（’07浙江联考）如图—12所示，一顶角为2θ的光滑圆椎被竖直放置。在圆锥内外施加一磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向与圆锥中心轴平行且向下。一个质量为m的带电量为q的小球，沿圆锥面在某一水平面作匀速圆周运动。试求小球运动的最小半径（不考虑圆椎本身的磁性）。                                                                                                                                                                           

[解析]首先，设小球所受洛仑兹力为f,锥面的支持力为N；再设小球速率为v,转动半径为r.从而，分别在竖直、水平两个方向应用牛二定律可得

         

联立①②式，即能求出

        

其次，由数学可知，当

时，以上分式r=r(v)的“分母”具有极大值

，随之可求出小球的最小半径

          

[点拨]此例属于“（重）力电磁场”中的求极值问题。解题中，利用求二次三项式的极值的知识，考查应用数学工具解决物理问题的能力。

[例题10]（’07大连模拟）如图—15所示，动摩擦因数μ=0.5的水平轨道与半径为R的光滑半圆形轨道相切，半圆轨道的左侧存在着场强E=50N/C方向竖直向上的匀强电场和磁感应强度B=1.25T垂直纸面向里的匀强磁场，在水平轨道上，一个质量为m=0.01kg、电荷量q=+10^-3C的带电小球A以初速度为v₀=40m/s向右运动，在光滑半圆轨道最低点停放一个质量为M=0.3kg的不带电绝缘小球B，两个小球均可看作质点，小球A与小球B碰撞以v₁=20m/s向左运动，小球B沿半圆轨道运动到最高点水平抛出，求：当圆轨道半径R为多大时，平抛的水平距离最大？最大值是多少？（g=10m/s²）

[解析]首先，分析可知小球A受向上电场力、洛仑兹力与竖直向下的重力作用，而且代入已知具体数据q=+10^-3C、E=50N/C、v₀=40m/s和m=0.01kg、 g=10m/s²，不难求出

           

显然，小球A与水平轨道之间没有摩擦，而以初速度向右做匀速直线运动，直到与绝缘小球B发生碰撞。

其次，当A、B两球在半圆轨道最低点相碰撞时，由动量守恒可得

           

再代入v₁= -20m/s、M=0.3kg和其他已知数据（见前文），即可求出

          

然后，当小球B沿“光滑”半圆轨道转动至最高点，再由此做平抛运动时，由机械能守恒、“平抛”规律，可得

          

其中，v₃表示平抛的初速度，x、t表示平抛的水平距离和时间。联立以上三式，代入已知数据，即可求出

          

最后，由数学可知当

时，小球B平抛的水平距离有最大值

          

[点拨]我们看到，在高中物理中，求某个物理量的“极值”（如此二例中小球的最小半径、“平抛”的最大水平距离等），通常采用数学中求某个“二次三项式”的极值的方法。但是，这个二次三项式，常需要我们进行多方面的分析、考量和推导后方能得出。

[例题9]（高考模拟题）如图—13，在竖直放置的光滑绝缘圆环中，套有一带电量为－q、质量为m的小环，整个装置放在正交的电场和磁场中，电场强度E=mg/q，方向水平向右；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，已知大环半径为R，当小环从大环顶端无初速下滑后，试求：⑴经过多大弧度，环的运动速度最大？⑵这个最大值为多少？⑶此时受到洛仑兹力为多大？

[解析]⑴首先，欲使“环的运动速度最大”，亦即动能最大，由动能定理可知，合外力对其做的功应最多。考虑到题设条件，分析又知，当电场力、洛仑兹力几种力的合力与半径在同一直线上时，切向加速度为零而速度最大。设合力与竖直的夹角为

，选水平向左为坐标正方向，从而，可得

            

由①②式，即容易知道

显然，重力等于电场力；当小环到达如图—14所示的P点，转过的旋转角

亦即经过的弧度时，环的运动速度最大。

⑵其次，当小环“从大环顶端无初速下滑”到达P点时，大小相等的电场力、重力皆对其做正功。再设最大速度为v_max，由动能定理，可得

        

其中，v_max、

分别表示小环的最大速度、合力与水平的夹角。再联立③④⑥式，由此可得，

         

⑶最后，由向心力、洛仑兹力计算公式，可以求出其大小为

          

[点拨]应该指出，确定小环速度达到最大的“位置条件”，即在该位置其切向加速度必定变化为零。若了解这一点，解题就有了明确的方向性。进而，还应知道小环在此后的运动中，因切向加速度为负，因而可使速度不断减小为零。周而复始，依次类推………实际上，P点亦可视为小环振动的平衡位置。

最后，应该进一步说明，带电粒子在“叠加场”中的运动问题，由于物理场景复杂，常令人捉摸不定，题目难度相对复杂。然而，从以上解析可见，解题时还是有“法”必依、有“章”可循的。除上文所示而外，还应知道在“叠加场”内重力、弹力具有功量、冲量，考虑到动能定理、动量定理，可知它们既能改变粒子的动能、重力势能（绝不改变机械能），又能改变粒子的动量（或速度）。作为摩擦力，情况则与之不同，摩擦力做功时能改变系统的机械能，时常导致内能的增加。至于粒子所受的洛仑兹力呢？由于它对粒子没功量、有冲量，同理可知它不能改变粒子的机械能，但能改变粒子速度的方向，从而使粒子的动量发生改变。

                                              (2017-08-04  经典重发)