《高中物理思维方法集解》试笔系列

                       “四值”、“三比”与交流电能的传输

                      山东平原一中     魏德田    253100

        首先，粗略解释一下选择如此一个“命题”的意义。所谓 “四值”，指正弦“交变电流”的电动势、电压、电流等三个物理量的瞬时值、最大值、有效值和平均值等四个值；所谓“三比”，指变压器的关于变压比、变流比、功率比等知识；而“电能的传输”，指利用包括变压器、导线和其他设备等实施高压输电的相关内容。

    由于这一系列问题直接涉及到交变电流的产生、使用、传输等知识的理解和运用。因此，我们亦不得不给以必要的关注和研究。

                          一、破解依据

    欲解决好此类问题，试归纳以下几条依据：

    

㈠“四值”：即正弦“交变电流”的电动势、路端电压和干路电流等三量的“四值”：⑴瞬时值：

，

和

（其中

）⑵最大值：①

，或

其中N、B、S、ω分别为线圈匝数、“磁强”、线圈的面积和角速度。②

。③

（注：R为“纯外阻”）⑶有效值：

⑷平均值：*

，为曲线

与时间轴所围“图形面积”除以时间之商（等于

）。电压、电流的平均值与*式类似。

㈡单相、单组变压器之“三比”：①变压比：

；②变流比：

；

③功率比：

，其中p_1、p₂分别表示“理想”变压器的输入、输出功率。

㈢单相“多组副线圈”的变压器：功率关系另有：即

⑴

————“多组副圈”功率关系

⑵

————“多组副圈”电流关系。

㈣电能传输：

⑴

————“二级传输功率关系”

⑵

————“二级传输功率损失”。

⑶

————“二级传输电压损失”。

⑷其他：

——电流关系解例。

——电压关系之一。

                      二、解题示例

[例题1]（’07天津）将阻值为5Ω的电阻接到内阻不计的交流电源上，电源电动势随时间变化的规律如图—1所示。下列说法正确的是（ C  ））

A.电路中交变电流的频率为0.25Hz 

B.通过电阻的电流为A

C.电阻消耗的电功率为2.5W

D.用交流电压表测得电阻两端的电压是5V

[解析]由图可知T=0.4s,易得f=2.5Hz;由图可见E_m=5V；因而用交流电压表测得电阻两端的电压

；通过电阻的电流

；电阻消耗的功率

。

因此，本题答案为：C。

[点拨]此例对如何利用图象给出的数据，结合电学的最基本的概念和规律解决问题，活化思维，强化能力有一定效果。

[例题2]（’02安徽春季高考）磁铁在电器中有广泛的应用，如发电机。如图—2所示，已知一台单相发电机转子导线框共有N匝，线框长为l₁,宽为l₂,转子转动的角速度为ω，磁极间的磁感应强度为B。导出发电机的瞬时值表达式。

现在知道有一种强永磁材料钕铁硼，用它制成发电机的磁极时，磁感应强度可增大到原来的k倍，如果保持发电机结构和尺寸，转子转动角速度，需产生电动势都不变，那么这时转子上的导线框需要多少匝？

[解析]首先，我们不难写出电动势的瞬时值表达式（推导过程略）

       

  

然后，应用依据㈠⑵（最大值）和题设条件，可得

       

从而，我们即可由②③式求出“改进”后转子的导线框的匝数

       

[点拨]此例不仅让我们熟悉应用电动势的瞬时值、最大值等，而且对“优化相关磁性材料，可有效的减少导线框匝数”的实际意义加深理解。

[例题3]（’05北京春考）一个边长为6 cm的正方形金属线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，电阻为0．36Ω。磁感应强度B随时间t的变化关系如图—3所示，则线框中感应电流的有效值为

A．

×10^-15A  B．

×10^-15A  C.

 ×10^-15A   D.

 ×10^-15A

[解析]首先，我们来求半个周期内的磁通变化所引起的感应电动势。由图可知在0-3s和3-5s内的磁通变化率大小分别为

           

 相应地，由感生电动势公式，可得

        

  

然后，在半周期内求感应电流的有效值。由有效值的的定义，可得

          

把已知数据R=0.36Ω代入③式，联立①②③式，即可求出

          

        [点拨]此例为由于回路不动而“磁通”发生变化的典型问题。我们先利用B-t图所标列数据先求出磁通对时间的变化率，按感生电动势计算公式处理。之后，求感应电流的有效值，则恰当的运用在产生“焦耳热”这一点上，“交流电”等效于“直流电”的原本意义。

[例题4]（’07经典试题）如图—4所示，一面积为S=0.012πm²、匝数为n=250匝、可绕水平轴转动的矩形线框，置于水平的匀强磁场B=2/π（T）中。当其以角速度ω=4πr/s匀速转动时，试求：⑴瞬时电动势的表达式；⑵已知回路总电阻为R=1.2Ω，在0-T/4的时间内，流过回路的电荷量Q；⑶在电源两端跨接一个“氖管”Q，当路端电压达12V时即可发光，则在一个周期中发光的总时间为多大？10min时间内，该氖管发光多少次？

[解析]⑴首先，我们很容易求出电动势的最大值

    从而，可得其瞬时值表达式

            

⑵其次，欲求0-T/4时间内，流过回路的电荷量，应用依据㈠⑷知应求平均电动势及该时间的乘积。即

            

 

联立③④式，代入已知数据即可求出该时间内流过回路的电荷量

           

⑶然后,当电压达12V时,由②式可得

           

有此即可求出

            

由此可见,其在T时间内发光为t=4×(T/12)=2T/3.10min内发光总时间为

            

[点拨]由解析可见，求通过回路的电量时，我们应用了交流电动势的平均值。还应说明，“氖管”持续发光的条件，即必须使其所加电压超过某一最低值。因而，一个周期内电压大于、等于此值的两段“对称”、“相等”的时间即为发光时间。

[例题5]（’07广东模拟）如图—5所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，内阻为r，绕OO^/轴以角速度ω做匀速转动，在它从图示位置转过90°的过程中，下面说法正确的是   （    ）

A．通过电阻的电量为

     B．通过电阻的电量为

C．外力所做的功为

       D．R两端电压的有效值为

[解析]首先应该强调，欲计算通过电阻的电量，则只能用电动势（或电压）、电流等对时间的平均值，作为恒定电流处理。又，当线圈做题设条件下的转动时，由“依据”㈠⑷（平均值公式）知其平均电动势

     其次，由欧姆定律、电流定义可得

                

 由于从图示位置匀速转过90°，显然需用T/4的时间。从而由圆周运动知识得

               

 联立①②③式，即可求出通过电阻的电量

               

    然后还应该强调，根据能量守恒可知外力做功等于电路释放出的焦耳热（或纯电阻电路中电流的功）。因而欲求外力所做的功，则只能应用交流电的有效值处理。从而，由电功公式（或焦耳定律）可得

              

再联立③④⑤式，即可求出外力所做的功

              

    最后，我们容易写出通过回路的电流、电阻R两端电压的有效值

              

联立⑤⑥⑦式，解得

              

 

    综上所列④⑦⑩式的结果，对照题设四选项可知本题答案为：B。

[点拨]由例4、例5解析可见，计算回路中“通过的电量”与“释放的热量”，从所用规律、思维角度等方面看完全不同，即前者必须用交流电的“平均值”，后者则宜改用“有效值”。

[例题6]（’07山东）某变压器原、副线圈匝数比为55︰9，原线圈所接电源电压按图—6所示规律变化，副线圈接有负载。下列判断正确的是  （     ）

A．  输出电压的最大值为36V

B．  原、副线圈中电流之比为55︰9

C．  变压器输入、输出功率之比为55︰9

D．  交流电源有效值为220V，频率为50Hz

[解析]首先，由图可见原线圈（即交流电源）电压的最大值、周期分别为

，易得电压的有效值及其频率为220V、50Hz，故知选项D正确。

进而，再由“依据”㈡⑴⑵可得输出电压

和原、副线圈中电流之比

，故知选项A、B均错。

然后，由依据㈡⑶（功率比）易知，

，故知C亦错。

因此，本题答案为：D。

[点拨]象这样的的多项选择题，必须一一求解后再做最后的判断才行，稍不留心，将铸成大错。对于一些没有必要的结果（如

），不精确计算也罢。

[例题7]（’06江苏）如图—7所示电路中的变压器为理想变压器，S为单刀双掷开关。

P是滑动变阻器R的滑动触头，U₁为加在原线圈两端的变电压，I₁、I₂分别为原线圈和副线圈中的电流。下列说法正确的是     （    ）

A．保持P的位置及U₁不变，S由b切换到a，则R上消耗的功率减小

B．保持P的位置及U₁不变，S由a切换到b，则I₂减小

C．保持P的位置及U₁不变，S由b切换到a，则I₁增大

D．保持U₁不变，S接在b端，将P向上滑动，则I₁减小

[解析]首先，分析“保持P的位置及U₁不变，S由b切换到a”时，由于副线圈匝数n₂增大，由依据㈡⑴（变压比）

可知，副线圈的电压U₂增大；而变阻器R不变。进而，由式

和

可知I₂增大、R上消耗的功率增大，故知A错。    

进而，再由“依据”㈡⑵（变流比）

可知原线圈的电流I₁增大，故知选项C正确。

其次，若“保持P的位置及U₁不变，S由a切换到b”时，由于副线圈匝数n₂减小，同理可知I₂将减小，故知选项B正确。

然后，若“保持U₁不变，S接在b端，将P向上滑动”，变阻器R的电阻减小，电压U₂不变，电流I₂将增大；由依据㈢⑵（电流传输公式）可知，

电流I₁将增大，故知选项D错。

因此，本题答案为：B、C。

[点拨]此题之类，一般不进行复杂而详尽的计算，但对物理现象或过程，在利用基本概念、规律定性认识和简单推理的基础上，必须一一细心判断，逐步解决。

[例题8]（’07高考模拟）一理想变压器的原线圈接交流电源，副线圈接负载组成如图—8所示电路，电键S原来闭合，且R₁=R₂。现将S断开，那么交流电压表的示数U、交流电流表的示数I、电阻R₁上的功率P₁及其原线圈的输入功率P的变化情况分别是  （    ）

A．U增大   B．I增大  C．P₁减小   D．P增大

[解析]首先，由依据㈡⑴（变压比）可知，副线圈（视为电源）的电压U^/大小保持不变。当S断开时，相当于原来与R₁并联的电阻R₂增大，由“串反并同”规律可知与R₂“并联”的电阻R₁电压增大亦即U增大，故知A正确；同理可知，与之“串联”的电阻R的总电流I^/必将减小，再由“依据”㈡⑵（变流比）可知，原线圈的电流I减小，故知B错；同理，电流I₁增大，而电阻大小不变，因而P₁=I₁²R₁增大，故知C错；最后，易知副线圈的功率P^/=I^/U^/将因I^/的减小而减小，应用“依据”㈡⑶（传输功率关系）可得原线圈的输入功率将减小，故知D错。

因此，本题答案为：A。

[点拨]此例应用了交流电的“三比”公式与电阻“串并联”、电路变化、电功率等知识，大可促进学科内知识的融通和提高解答综合性题目的能力。

[例题9]（’07广东）图—9是霓虹灯的供电电路，电路中的变压器可视为理想变压器，已知变压器原线圈与副线圈匝数比

，加在原线圈的电压为

（V），霓虹灯正常工作的电阻R=440kΩ，I₁、I₂表示原、副线圈中的电流，下列判断正确的是   （    ）

A．副线圈两端电压6220V，副线圈中的电流14.1mA

B．副线圈两端电压4400V，副线圈中的电流10.0mA

C．I₁<I₂

D．I₁>I₂

[解析]首先，显见此题所求电压、电流皆为有效值。由依据㈠⑶（有效值）、㈡⑴（变压比）可知，

由①②式，可解得

          

  

其次，由欧姆定律即可求出通过副线圈的电流

          

 

由②③式可见，选项B正确。

然后，应用“依据”㈡⑵（变流比）可得通过原线圈的电流

           

最后比较④⑤的结果可知

因此，本题答案为：B、D。

[点拨]应该明确，在解决有关“变压器”问题时，必须把“四值”、“三比”等规律结合起来。而且，应该明确原线圈的电流的大小，在双圈匝数均不变的情况下，是由副线圈的电流决定的。

[例题10]（’07高考模拟）如图—10所示，理想变压器原线圈匝数为n₁,两个副线圈匝数分别为n₂和n₃,且n₁∶n₂∶n₃=4∶2∶1，输入电压U₁=16V，R₂=R₃=10Ω。则输入的电流I₁大小是    （    ）

A．0.4A    B．0.1A   C．0.5A    D．以上答案都不对

[解析]首先，由依据㈡⑴（变压比），可得

            

联立①②

式，代入已知数据可得

            

然后，由闭合电路欧姆定律又得

            

再应用“依据”㈢⑵（电流传输关系）、考虑到匝数关系写出下式

            

联立③④式，代入以上结果，即可求出输入的电流I₁大小

             

因此，本题答案为：C。

[点拨]解决具有“多组副线圈”变压器的交流电能的传输问题，既考虑到变压器的三比公式，且多采用电功率、电流等传输规律。

[例题11]（’07海南）某发电厂用2.2 kV的电压将电能输送到远处的用户，后改用22 kV的电压，在既有输电线路上输送同样的电功率。前后两种输电方式消耗在输电线上电功率之比为       。要将2.2 kV的电压升高至22 kV，若变压器原线圈的匝数为180匝，则副线圈的匝数应该是         匝。

[解析]首先，我们知道在输送功率相同的情况下，输送电流与输送电压成反比，即

；

而导线的电阻R_L大小不变，由依据㈣⑵（“二级传输功率损失”公式）得

 。

然后，应用①②式，针对两种情况即可求出以下结果

           

最后，由依据㈡⑴（变压比）可得副线圈的匝数

           

      

[点拨]应该强调，“在输送功率相同的情况下，输送电流与输送电压成反比”这一点，在解决此类“电流计算”问题中的深切意义，由于电能输送电路不是纯电阻电路，欧姆定律应谨慎使用。

 [例题12]（’06广东）某发电站的输出功率为10⁴kW，输出电压为4kV，通过理想变压器升压后向80km远处供电。已知输电导线的电阻率为ρ=2.4×10^-8Ω·m，导线横截面积为1.5×10^-4m²，输电线路损失的功率为输出功率的4%，求：

⑴升压变压器的输出电压；

⑵输电线路上的电压损失。

[解析]⑴首先，分析可知，欲求升压变压器的输出电压，可依功率与电流、电压关系求出此结果（参照附图——“电能的传输”）。从而，应用“依据”㈣⑵（“二级传输功率损失”），考虑到P₁=P₂，可得

           

联立①②式，代入已知数据，即可求出其大小

           

⑵然后，同理可得

           

再联立③④式，代入已知数据，不难求出输电线路上的“电压损失”

           

[点拨]由此可见，公式使用，若应用得当，则不妨重复乃至多次应用；分析问题，有时亦可从同一角度入手。

[例题13]（’07深圳模拟）发电机输出功率为100kW,输出电压是250V，用户需要的电压使220V，输电线电阻为10Ω。若输电线中因发热而损失的功率为输出功率的4%，试求：

⑴在输电线路中设置的升降变压器原副线圈的匝数比。

⑵画出此时输电线路的示意图。

⑶用户得到的电功率是多少？

[解析] ⑴首先，欲求“升压器”线圈的“匝数比”，可先求原、副线圈的电流。从而，由“依据”㈣⑵（“二级传输功率损失”公式）可得

           

由①②式可解得

；由功率公式又得

 。

    再应用“依据”㈢⑵（变流比）即可求出

               

⑵略。

⑶然后，应用“依据”㈣⑴（“二级传输功率关系”）可得

           

联立②③式，不难求出用户得到的电功率

              

[点拨]由以上几例解析可见，解决“二级传输”问题，需要综合运用包括“四值”、“三比”、功率或电压损失、能量守恒以及直流电路的计算等等物理知识，解题思路、方法、步骤等亦应纵横捭阖，不拘一格。

 

 

 

                                           (2017-08-04  经典重发)