学习《集合》中学生常见错误分析

2013-12-01 17:36:27

一、对集合中元素的特征认识不明

已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x||x|>2}，则M∩N＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．{x|1<x<3} B．{x|0<x<3}

C．{x|2<x<3} D．{x|2<x≤3}

解析　集合M是函数y＝的定义域，即x满足－x²＋3x≥0，解得0≤x≤3，即M＝[0,3]；集合N是不等式|x|>2的解集，即N＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以M∩N＝(2,3]．

学生在学习中容易把集合M看成函数的值域，出现求解错误．只要不出现这个问题，根据集合的含义，把集合M，N具体求出来，再根据集合的运算法则进行计算即可．

二、遗忘空集

已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．

若B?A，则B＝?或B≠?，要分两种情况讨论．

解　当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠?时，若B?A，如图．

则解得2<m≤4.

综上，m的取值范围是(－∞，4]．

若B?A，则B＝?或B≠?，要分两种情况讨论，学生在学习时非常容易将空集遗忘。

又如：设集合A＝{x|x²＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x²＋2(a＋1)x＋a²－1＝0，a∈R，x∈R}，若B?A，求实数a的取值范围．

解　∵A＝{0，－4}，∴B?A分以下三种情况：

(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x²＋2(a＋1)x＋a²－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得

解得a＝1；

(2)当?≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)²－4(a²－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

(3)当B＝?时，Δ＝4(a＋1)²－4(a²－1)<0，解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．

学生对于集合B为方程x²＋2(a＋1)x＋a²－1＝0的实数根所构成的集合，由B?A可知，集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝?的情况，导致漏解．

三、　忽视集合中元素的互异性

已知集合A＝{a＋2，(a＋1)²，a²＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的取值集合．

解　(1)若a＋2＝1，即a＝－1，(a＋1)²＝0，a²＋3a＋3＝1－3＋3＝1，元素重复；

(2)若(a＋1)²＝1，即a＝－2或a＝0，

当a＝－2时，a＋2＝0，a²＋3a＋3＝4－6＋3＝1，元素重复；

当a＝0时，a＋2＝2，a²＋3a＋3＝3，满足题意；

(3)若a²＋3a＋3＝1，解得a＝－1或a＝－2，由(1)(2)，可知均不符合题意．

所以实数a的取值集合为{0}．

由1∈A可知，集合A中的三个元素都可能等于1，得到a的值后，若忽视对集合中元素的互异性检验会导致错解．

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