三 求代数方程的近似根(解)
一、问题背景和实验目的二、 相关函数(命令)及简介三、 实验内容四、自己动手求代数方程
的根是最常见的数学问题之一(这里称为代数方程,主要是想和后面的微分方程区别开.为简明起见,在本实验的以下叙述中,把代数方程简称为方程),当
是一次多项式时,称
为线性方程,否则称之为非线性方程.
当
是非线性方程时,由于
的多样性,尚无一般的解析解法可使用,但如果对任意的精度要求,能求出方程的近似根,则可以认为求根的计算问题已经解决,至少能满足实际要求.
本实验介绍一些求方程实根的近似值的有效方法,要求在使用这些方法前先确定求根区间
,或给出某根的近似值
.在实际问题抽象出的数学模型中,
可以根据物理背景确定;也可根据
的草图等方法确定,还可用对分法、迭代法以及牛顿切线法大致确定根的分布情况.
通过本实验希望你能:
1. 了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程;
2. 求代数方程(组)的解.
1.abs( ):求绝对值函数.
2.diff(f):对独立变量求微分,f 为符号表达式.
diff(f, 'a'):对变量a求微分,f 为符号表达式.
diff(f, 'a', n):对变量 a 求 n 次微分,f 为符号表达式.
例如:
syms x t
diff(sin(x^2)*t^6, 't', 6)
ans=
720*sin(x^2)
3.roots([c(1), c(2), …, c(n+1)]):求解多项式
的所有根.例如:
求解:
.
p = [1 -6 -72 -27];
r = roots(p)
r =
12.1229
-5.7345
-0.3884
4.solve('表达式'):求表达式的解.
solve('2*sin(x)=1')
ans =
1/6*pi
5.linsolve(A, b):求线性方程组 A*x=b 的解.
例如:
A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2];
linsolve(A, b)
ans=
[ 1/9]
[19/72]
6.fzero(fun, x0):在x0附近求fun 的解.其中fun为一个定义的函数,用“@函数名”方式进行调用.
例如:
fzero(@sin, 3)
ans=
3.1416
7.subs(f, 'x ', a):将 a 的值赋给符号表达式 f 中的 x,并计算出值.
例如:
subs('x^2 ', 'x ', 2)
ans = 4
首先,我们介绍几种与求根有关的方法:
1.对分法
对分法思想:将区域不断对分,判断根在某个分段内,再对该段对分,依此类推,直到满足精度为止.对分法适用于求有根区间内的单实根或奇重实根.
设
在
上连续,
,即
,
或
,
.则根据连续函数的介值定理,在
内至少存在一点
,使
.
下面的方法可以求出该根:
(1) 令
,计算
;
(2) 若
,则
是
的根,停止计算,输出结果
.
若
,则令
,
,若
,则令
,
;
.
……,有
、
以及相应的
.
(3) 若
(
为预先给定的精度要求),退出计算,输出结果
;
反之,返回(1),重复(1),(2),(3).
以上方法可得到每次缩小一半的区间序列
,在
中含有方程的根.
当区间长
很小时,取其中点
为根的近似值,显然有
以上公式可用于估计对分次数
.
分析以上过程不难知道,对分法的收敛速度与公比为
的等比级数相同.由于
,可知大约对分10次,近似根的精度可提高三位小数.对分法的收敛速度较慢,它常用来试探实根的分布区间,或求根的近似值.
2. 迭代法
1) 迭代法的基本思想:
由方程
构造一个等价方程
从某个近似根
出发,令
,
可得序列
,这种方法称为迭代法.
若
收敛,即
,
只要
连续,有
即
可知,
的极限
是
的根,也就是
的根.
当然,若
发散,迭代法就失败.
以下给出迭代过程
收敛的一些判别方法:
定义:如果根
的某个邻域
中,使对任意的
,迭代过程
,
收敛,则称迭代过程在
附近局部收敛.
定理1: 设
,在
的某个邻域
内
连续,并且
,
,则对任何
,由迭代
决定的序列
收敛于
.
定理2:条件同定理 1,则
定理3:已知方程
,且
(1) 对任意的
,有
.
(2) 对任意的
,有
,则对任意的
,迭代
生成的序列
收敛于
的根
,且
.
以上给出的收敛定理中的条件要严格验证都较困难,实用时常用以下不严格的标准:
当根区间
较小,且对某一
,
明显小于1时,则迭代收敛 (参见附录3).
2) 迭代法的加速:
a) 松弛法:
若
与
同是
的近似值,则
是两个近似值的加权平均,其中
称为权重,现通过确定
看能否得到加速.
迭代方程是:
其中
,令
,试确定
:
当
时,有
,即当
,
时,
可望获得较好的加速效果,于是有松弛法:
,
松弛法的加速效果是明显的 (见附录4),甚至不收敛的迭代函数经加速后也能获得收敛.
b) Altken方法:
松弛法要先计算
,在使用中有时不方便,为此发展出以下的 Altken 公式:
,
是它的根,
是其近似根.
设
,
,因为
,
用差商
近似代替
,有
,
解出
,得
由此得出公式
;
;
,
这就是Altken 公式,它的加速效果也是十分明显的,它同样可使不收敛的迭代格式获得收敛(见附录5).
3. 牛顿(Newton)法(牛顿切线法)
1) 牛顿法的基本思想:
是非线性方程,一般较难解决,多采用线性化方法.
记:
是一次多项式,用
作为
的近似方程.
的解为
记为
,一般地,记
即为牛顿法公式.
2) 牛顿法的收敛速度:
对牛顿法,迭代形式为:
注意分子上的
,所以当
时,
,牛顿法至少是二阶收敛的,而在重根附近,牛顿法是线性收敛的.
牛顿法的缺点是:(1)对重根收敛很慢;(2)对初值
要求较严,要求
相当接近真值
.
因此,常用其他方法确定初值
,再用牛顿法提高精度.
4. 求方程根(解)的其它方法
(1) solve('x^3-3*x+1=0')
(2) roots([1 0 -3 1])
(3) fzero('x^3-3*x+1', -2)
(4) fzero('x^3-3*x+1', 0.5)
(5) fzero('x^3-3*x+1', 1.4)
(6) linsolve([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]')
体会一下,(2)
(5) 用了上述 1
3 中的哪一种方法?
以下是本实验中的几个具体的实验,详细的程序清单参见附录.
具体实验1:对分法
先作图观察方程:
的实根的分布区间,再利用对分法在这些区间上分别求出根的近似值.
输入以下命令,可得
的图象:
f='x^3-3*x+1';
g='0';
ezplot(f, [-4, 4]);
hold on;
ezplot(g, [-4, 4]); %目的是画出直线 y=0,即 x 轴
grid on;
axis([-4 4 -5 5]);
hold off
请填写下表:
实根的分布区间
该区间上根的近似值
在某区间上求根的近似值的对分法程序参见附录1.
具体实验2:普通迭代法
采用迭代过程:
求方程
在 0.5 附近的根,精确到第 4 位小数.
构造等价方程:
用迭代公式:
,
用 Matlab 编写的程序参见附录2.
请利用上述程序填写下表:
分析:将附录2第4行中的
分别改为
以及
,问运行的结果是什么?你能分析得到其中的原因吗?看看下面的“具体实验3”是想向你表达一个什么意思.
用 Matlab 编写的程序参见附录3.
具体实验3:收敛/发散判断
设方程
的三个根近似地取
,
和
,
这些近似值可以用上面的对分法求得.
迭代形式一:
收敛 (很可能收敛,下同)
不收敛 (很可能不收敛,下同)
不收敛
迭代形式二:
收敛
不收敛
不收敛
迭代形式三:
不收敛
收敛
收敛
具体实验4:迭代法的加速1——松弛迭代法
,
,
迭代公式为
程序参见附录4.
具体实验5:迭代法的加速2——Altken迭代法
迭代公式为:
,
,
程序参见附录5.
具体实验6:牛顿法
用牛顿法计算方程
在-2到2之间的三个根.
提示:
,
迭代公式:
程序参见附录6 (牛顿法程序).
具体实验7:其他方法
求下列代数方程(组)的解:
(1)
命令:solve('x^5-x+1=0')
(2)
命令:[x, y]=solve('2*x+3*y=0', '4*x^2+3*y=1')
(3) 求线性方程组
的解,已知
,
命令:
for i=1:5
for j=1:5
m(i, j)=i+j-1;
end
end
m(5, 5)=0;
b=[1:5]'
linsolve(m, b)
思考:若
,或
是类似的但阶数更大的稀疏方阵,则
应如何得到?
1.对分法可以用来求偶重根附近的近似解吗? 为什么?
2.对照具体实验2、4、5,你可以得出什么结论?
3.选择适当的迭代过程,分别使用:(1)普通迭代法;(2)与之相应的松弛迭代法和 Altken 迭代法.求解方程
在 1.4 附近的根,精确到4位小数,请注意迭代次数的变化.
4.分别用对分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛顿切法线等5种方法,求方程
的正的近似根,
.(建议取
.时间许可的话,可进一步考虑
的情况.)