首先我们来看四个求和公式:
那么我们能从前面三个公式找出哪些规律来呢?
1. 自然数的m次方求和,公式是一个m+1次方的多项式;
2. 多项式的最高次项系数为1/(m+1);
3. 次高项(x^m)的系数为1/2。
再也看不出其它规律了。
根据上述规律,我们可以推推断一下自然数的四次方和形式如下:
那么真实情况如何呢?
果然如此,我们猜对了!!!
我们不是数学家,只能到这一步了,但带'家'的人不会就此止步。
雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705),牛顿同时代的另一位神仙级'家'人物,受牛顿二项式定理的启发,终于通过锲而不舍的连蒙带猜,彻底地解决了这个问题,即对任意自然数m,他找到了求
的通项公式。
牛顿也是连蒙带猜,找到了二项式展开的通项公式:
牛顿二项式定理
再结合杨辉三角数,可以直接出展开式,如
给我们带来了巨大的方便性。
如下表格中的Bi即为伯努利数。
伯努利数与
的求和公式的系数有如下关系:
令p=4,我们得到
与前面的结论一致。
令p=20,得到
有了伯努利常数,我们就可以直接写出前若干项自然数的n次幂的和了。是不是很方便?
但是,伯努利数是如何求得的呢?
就是将如下公式左边用泰勒级数展开,得到右边的式子,其中的系数中的Bn即为伯努利数。
可以求出B0, B1, B2, B3,…。
由于上式中求更多的展开式比较困难,人们得到了一种更方便的求伯努利的递推方法:
另外,伯努利数也可以通过黎曼Zeta函数求得:
根据伯努利数生成的如下多项式
为伯努利多项式。其中Bk为伯努利数。
对应的坐标曲线如下图所示:
据说,随着m越来越多,Bm(x)长得越来越像正弦函数。
伯努利多项式有广泛的应用(如黎曼Zeta函数),这里就不做介绍了。
Jacob Bernoulli
联系客服