从古至今，人类发明了很多数字的表示方法，比如罗马数字，中国数字，还有我们现在最熟悉的阿拉伯数字。而在计算机世界中，同样存在一种数字表达方法，而且这种方法和我们通常所熟悉的方法还存在比较大的差别。不管是罗马数字还是阿拉伯数字，我们使用的都是十进制。人类使用十进制来表达数字估计是和人类的生理结构有较大关系，因为不管是手指头还是脚趾头，我们都有10个。假如人拥有8个手指头或者16个手指头，估计我们现在使用的就不是十进制，而是八进制或者十六进制了。不过这只是猜测而已，好像没有科学证明。
（1）二进制
在我们所熟悉的十进制中，我们规定逢十进一。比如在幼儿园的小朋友学习数数时，从1数到10时他们会将他们人类天生的计数器——手指派上用场，而到了11时他们就不知道怎么办了？这时候老师就要教他们在纸上写上10，然后继续往下数。而在计算机里，它是没哟手指的，那它应该怎么去学习数数呢？人类已经帮他们制定好一整套方法了。首先，计算机虽然没有手指，但它们有电压。在任何电路中，都会存在两种状态，一个是通路，一个是断路，也可以表示成两点之间存在电压和没有电压两种状态。我们现在把有电压的状态用“1”表示，把没有电压的转台用“0”表示。于是，我们就可以建成一套有一连串“1”和“0”表示的数字体系了，这种方法就是做二进制数字表达法。
一个二进制数是有一连串“1”和“0”组成的，比如00001表示的是十进制中的1，而00010表示的是十进制中的2。这里这个要么是“1”要么是“0”的符号单位称为一个“bit”，也就是“比特”或“位”。一个二进制用k个bit来表示称为这个二进制有k-bit宽度。在二进制中，我们规定“逢二进一”，就像我们十进制中“逢十进一”一样。这样，我们可以算出1个bit能表示2个数字，2个bit表示4个数字，3个bit表示8个数字，也就是K个bit表示2^k个数字。同时，我们还规定8个bit为一个字节，32位能同时表示4个字节。我们现在所用到的电脑大多数都是32位，也就是每个数用32bit表示。不过我们下面用到的例子多是8bit或16bit，这样就不用写那么长的一串1和0了。
现在我们已经为计算机制定好用于表示数字的二进制，不过这对于计算机来说还远远不够，因为数据是有分类型的，如整数，小数，正数、负数等，我们还要给计算机规定好这些，它才能比较方便地进行计算。现在我们一起来看看几种常见的数据类型。
（2）整数数据类型
如果我们不考虑整数前面的符号，那么表达就容易多了。直接用二进制的方法表达即可。K个bit表示2^k个数字，8个bit可以表达2^8=256数字。然而在实际计算中，我们会用到大量的负数，这些负数如何表达呢？我们可以将2^k一分为二，一半表示正数，一半表示负数。但如何表示呢，我们伟大的辈们已经想好怎么去表达了。
第一种方法叫作符号位法。这种方法是在数字前面留出一位来表示符号，“1”代表负数，“0”代表正数。于是，8bit中第一位表示符号，后7为表示数字，所以它能表示-128~+127。
第二种方法叫做反码表示法。其方法是：将一个正数所有bit全部取反，即得到该正数所对应的负数编码，例如“+5”表示为“00101”，那么“-5”则为“11010”。
不过这两种方法只是在早期计算机中应用，因为他们在硬件逻辑设计上都相当复杂。所以，我们需要设计更适合硬件操作的编码方案，这种方法叫做补码表示法。
（2）补码
在自然数中，绝对值相同但符号相反的两个数之和为零。补码就是按照这个条件要求来编制的。在补码表示中，如果已知一个非零整数A的编码，其相对应的负数的编码是“取反加1”，即把A的编码全部取反，然后再加上1。例如，如果数字1的编码为00001，则-1的编码是11110+1=11111。我们可以看到00001+11111=00000，正数与负数相加正好等于0.
（3）数制转换
我们人类所熟悉的十进制与计算机所用的二进制之间是如何转换呢？这里有一道公式，只要记住它，我们就可以很快地进行数制转换了。我们先来背背这个公式：“除2取余，逆序排列”。什么意思呢？我们做道例题就知道了。
例1： 将89转为二进制
解： 89/2=44……1,
44/2=22……0,
22/2=11……0,
11/2= 5……1，
5/2= 2……1，
2/2= 1……0，
1/2= 0……1
答：89转换为二进制为1011001
例2：将50转为二进制
解： 50/2=25……0
25/2=12……1
12/2= 6……0
6/2= 3……0
3/2= 1……1
1/2= 0……1
答：50的二进制位110010
二进制如何转为十进制呢？
我们在十进制里有一个计数方法叫科学计数法。比如1000=1*10^3，200003=3+2*10^5
在二进制里我们同样可以用这种科学计数法，因为它是科学的，所以是通用的。
用上面的例子试试看：
例3：将110010转为十进制
解：110010=1*2^5+1*2^4+1*2^1=32+16+2=50
答：110010的十进制是50。
例4：将110010转为十进制
解：1011001=1*2^6+1*2^4+1*2^3+1=64+16+8+1=89
答：110010的十进制是50。
通过上面的例题，我们可以很轻松的掌握十进制与二进制之间相互转换了。
（4）算述运算
二进制加法：在十进制里的加法，是每逢满十就前进一位，那以此类推，在二进制里的加法，就是每逢满二就前进一位。下面我们做道例题。
例5：1+1=？；
解： 1
+ 1
=10
答：1+1=10
例6：3+3=？
解： 11
+ 11
=110
答：3+3=11+11=110 二进制减法：在二进制的减法中，只要先把减数通过补码方法转换成负数，然后两者相加即可。
符号扩展
在一些情况下，为了减少占用空间，较小的数值会采用较少的bit来表示或存放。例如，数值5如果按照16bit表示的话就是0000000000000101，可我们用6bit来表示就足够的，000101。这两种方式表达的内容都一样，但占用的空间就有较大差别了。但是，如果遇到一个6bit和一个16bit的数相加或相减，就会出问题了。例如13和-5相加，
例6 0000000000000101
+ 111011
= 0000000001000000
这样就变成了13+（-5）=64，这明显是错误的。所以，我们要把宽度较小的数字进行符号扩展，使得两个操作数的宽度相同。
符号扩展的方法是正数前面添加0，在负数前面添加1。因为在二进制中，正数前提任意添加0是不会改变其值的，而在负数前任意加1也是不会改变它的数值的。
溢出
我们知道计算机表达数字是有一定的位数的，如我们所说的8bit，16bit，这也就说明计算机中能够表达的数目是有限的，如果让两个数进行相加，完全有可能得到的结果超出了计算机所能表达的范围，于是出现了计算错误，这就是溢出。
例如，在5-bit码字的表达范围ieshi-16~+15。如果计算（+9）+（+11）的运输结果，
例7 01001
+01011
=10100
结果得到的是一个负数，这就是溢出错误。
而两个负数相加，也有可能出现溢出错误，例如表达式（-12）+（-6），
例8 10100
+11010
=01110
两个负数相加变成了正数，这显然是错误的。
上面的例子都是发生在相同符号数相加的情况下，而事实上，溢出错误是只可能出现在相同符号数相加的情况下。
（5）逻辑运算
数学运算出了算术运算之外，还存在逻辑运算。我们来看看二进制中的逻辑运算是怎么样的。
“与”运算
“与”运算（AND）的运算规则为两个操作数为1时结果为1，否则为0。
A B AND
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
“或”运算
“或”运算(OR)的运算规则为两个操作数中任意一个为1时结果为1，否则为0
A B OR
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
“非”运算
“非”运算(NOT)为一元逻辑运算，对操作数直接取反。
A NOT
0 1
1 0
“异或”运算（Exclusive-OR）
“异或”运算为两元逻辑运算，如果两个操作数不同时结果为1，相同时结果为0
A B OR
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
（6）浮点数
用二进制表示数字时会有一个范围，即使是16bit的，也只能表示-2^15~+2^15-1。如果我们需要表示一个很大的数，如摩尔常数（6.023*10^23），用之前的方法就无法表达出来了。所以我们定义了另一种数据类型，叫做浮点数。
浮点数就想到与我们常用的科学计算法，如6.023*10^23就采用科学计数法。在这种方法中，有三个组成部分，第一是符号，第二是尾数，第三是指数。在6.023*10^23中，符号是+，尾数是6.023，指数是23。在浮点数中同样也规定了这三个部分。IEEE标准中规定，浮点数由32bit组成，其中，第一位表示符号，中间八位表示指数，最后23位表示尾数。在二进制方式下，第一个非零数字只可能是1，所以这个1可以省略。
我们举个例子，现在有一个数00111101100000000000000000000000， 第一个0表示这个数位正数，中间八位表示这个数的指数为-4，后面23为表示尾数为1.00000000000000000000000，所以，这个二进制数表示的是+1.00000000000000000000000*2^（-4）=1/16。
我们不必对浮点数做过于深入的研究，我们只要知道浮点数可以表达很大的数就可以了。
（7）ASCII码
（American Standard Code for Information Interchange，美国信息互换标准代码）在计算机中，所以数据都是用二进制来表示的。比如0代表0,1代表1,10代表2，以此类推。但这并不是唯一固定的，而是认为把他们匹配的。如果每个人都用自己的一套表达方式，那么计算机就不知道听谁的了。所以，大家就统一制定一个标准，这个标准就是ASCII编码
ASCII编码规定：0～31及127(共33个)是控制字符或通信专用字符（其余为可显示字符）；32～126(共95个)是字符(32sp是空格），其中48～57为0到9十个阿拉伯数字； 65～90为26个大写英文字母，97～122号为26个小写英文字母，其余为一些标点符号、运算符号等。
（8）十六进制计数法
假设有一个16bit的二进制数：0011110101101110，如果让你在两秒中记住这个数，你能做到吗？
估计很少人能够做到。不过，如果我们换一种写法，也许你就会觉得这是轻而易举的事情了。
我们把16bit的数据分成四段，每段4bit。4bit可以表示16个数字，我们分别用0123456789ABCDEF这16个字符来代替。于是，0011=3,1101=13=D,0110=6,1110=14=E，也就是说0011110101101110可以表示成3D6E。这样子我们就很容易就能记住这个数字了。
上面提到的这种方法叫做十六进制计数法，它的主要好处就是方便人们记忆和使用。
通过上文的描述，我们已经在计算机眼中的数字世界逛了一圈，希望大家都有点收获！
|
