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关键词：北大学子备考锦囊
编者按
书山寻路，学海摇橹；十年寒窗，上下求索。燕园中的他们，也曾徘徊思索，困惑不解；有过起伏波动，曲折辗转。未名博雅，千里同行，北大学子为你送上这份真诚的“备考锦囊”。追梦途中的点滴困惑，这里有你最需要的答案。无论你是求学前路尚曲折的旅者，还是高考战场正披挂的战士，北大始终与你同行。
个人信息
学生姓名：汤家淇
毕业中学：长郡中学
就读院系：北京大学元培学院
在如今文理同卷的大背景下，数学的要求进行了统一，对我们也更有挑战。但这并非没有应对之道，笔者在此就结合个人经验给出一些拙见。
一
数学学习是一个拆分再重组的过程
学习高中数学，首先以各个不同板块的基础知识为起点，进而向上拔高，并且逐渐交融。它的初始状态是相互独立的，这是为了我们先专一地、不受其他板块干扰地打好基础。例如我们必须先学好集合论与函数基本概念，在这个大的框架下细化到一些例子——基本初等函数，细致讨论其性质，在此基础上又九九归一，去发现研究函数的有力工具——导数，导数就可以有效帮助我们确定函数的单调性，极值，最值等基本参量，这些参量又是我们之前在函数基本概念已经了解的。如果我们不对这些概念先做了解，那么就难理解导数体系。
对于基础概念，要用基础方法。最有效的应是在基础课上认真听讲，争取一次浇筑牢固，结合布置的作业发现薄弱环节，进而使用专题形式一一攻克。
数学有鲜明的模块化特征，考查知识点有一定的独立性，便于我们分版块逐个击破（这也是高三数学复习的基本原理），但学习完基本概念后我们要试着去融会贯通，不要死板地认为数学知识之间是割裂的。例如数列和概率似乎风马牛不相及，但事实上一些构造递推式的概率分析必须用到数列的知识辅助解析；把数列单调判断和二项分布的概率最值问题结合，可以得到便捷的一般性结论，有助于节省大量时间。
高考数学是创新综合的，即将各种知识综合考察，可能有的组合方式是闻所未闻的，但是有了连贯的数学认知和大一统的数学意识，不把知识割裂开，不强行把题目划分给某个单一知识点单一题型，其实也能很好地解决问题，并且大一统的数学意识也是一种更高层级的数学素养的体现。
总而言之，没有人不在前进，我们的数学基础一直在，我们要有充分自信，但又要明确知识不能孤立，在对立统一中寻求发展。
二
学会理智，巧练习
刷题，是数学绕不开的话题。笔者在长郡中学三年，看到过日刷百题的卷王肝帝，也看过数学只写作业但能周月考上140+的神仙人物。刷题or天赋，一般很多人只能选择前者，而其实真正有天赋的人早走了竞赛，刷题还是真正大多数数学学习者的必经之路。可以说，刷题是学习数学中必不可少的一部分，但绝不是全部，甚至不能是主要部分，而只能是一条辅助提高的路径。那么，我们应该如何刷题呢？
1、理智刷题
关于刷题的题量，其实没有固定的标准，针对每个人各有差异。刷题是看目的而言的，针对薄弱版块可以采用专题突破的形式进行中高强度的刷题；另外通过刷题还可以见识不同题目拓展视野，那么这样的刷题的强度就不需要特别高，一般采用精做少量题的策略。
需要注意到刷题不等于大量地机械重复做题（可以用“内卷”形容），刷题是服务于学习的，它是学习的一个部分但千万千万不能是学习的全部，笔者本人的基本学习路径是学新知识——作业——总结薄弱环节——针对性做题（一定强度）——总结薄弱环节的解决方式——定期适量题目保温，一旦保温过程中重复出现同类型的错误，就再次总结薄弱环节并继续后续步骤，直到问题解决。
完成作业是基础，但作业也有不同，如学习新课时作业相对基础，完成比较快，这时候就应该保证质量，同时深入吃透，找到并解决自己基础层面的问题；而进行复习的时候作业难度会有所提高，也更加针对高考题型，这时候就应该在保持质量的基础上限时练习，因为高考是有限时间内把题目做正确，必须在复习时培养自己的限时意识。但也要结合自身能力层级，有时候也可能要适当取舍，并不是要求所有人必须完成相同的题目，可以根据自身要求进行调整，保证我做皆我得，而不是死板地要求全部完成。
总结问题则要针对自己的错题，问自己为何做错，是粗心还是知识点不牢固还是方法不熟练等等，注意常错题，进行积累规整，这样达到错一道会一类的效果；即使是对的题也要结合答案反思自己的思路是更好还是有所欠缺，不断修正自己的解题模式。
保温时则选择有一定挑战性但不太难的题目，结合学习频次定时定量练习，达到保温+查漏的效果。
2、巧做规划
（1）中等（月考数学成绩<125）
这部分同学一定要注重基础，不要去想拼难题。一张试卷总会有不会做的题目，也不需要因此自卑，认清自己才是不断进步的前提。做我能做，得我应得，基础不牢，地动山摇，只有打好基础，逐步推进，数学进入120+甚至130+序列其实并不困难。正是先下好本手，别成俗手，还说不定有妙手呢！
基础在于教材。平时上课可能进度很快，常常是浮光掠影，不知所以然，这就要求我们课后抽时间温习新知，自习阅读教材，看看已学是否吃透，是否还有未了解的内容，并且可以结合一些偏基础的同步资料加深训练。考场上做基础题不去设想基础题简单或困难，而是按照以前的积累，仔细阅读，提取题目的数学语言，再联想相关的基本方法尝试解决。
（2）高等（月考数学成绩125~139）
就一套有一定难度的数学试卷而言，这类同学单选题可以争取到1-7题全对，多选题9-11全对，填空题13-15题全对，大题17-20题全对，而小题三个版块的三道压轴题也大可以做出一道，再冲击一下压轴部分，分数就比较可观了。
此部分同学可以采取基础题不丢分，中档题冲满分，压轴题要有一定的思路并且多得分的思路。我们有能力获得较高的分数，就一定要有自信，不必要去和别人比。要充分明白压轴题不是高不可攀，不要看轻了自己，要以挑战者的身份去闯一闯试一试，完全放弃其实比较可惜。
基础不丢分，在做好中等层级所需做的之外，还要平时注重训练速度，这需要在较短时间内完成一定量的题目，要通过一定练习提高熟练度。面对中档题要试着去拆分步骤，即先简要确定从条件到结果的基本思路过程，把过程分为几个小部分，每个小部分比原题更简单，再对这些小部分进行攻克，进一步综合起来得到答案。而对于压轴题采取挑战的形式，注重积累，一次一题，多次后进行分类规整，尝试对压轴题的难度进行内部分级，并花时间钻研一些不那么难的压轴题，不仅有助于考场压轴题的解出，也为冲击有变化的更难的压轴题提供了基本方法和思考路径，更能从高视角辅助中档题的思考。
（3）尖子（月考数学成绩140~150）
到了这一梯队，一分都很重要，从小140到大140甚至是满分，是百尺竿头更进一步，越发艰难，最考验一个人的全方面的数学能力。所以应当具备一定的数学精神，否则上升比较难，因为最后的分数往往都不是方法能决定的，而常常靠一个人的细致、坚持、灵活等等一系列老师上课不会讲到的内容。
培养细致，我们首先要清楚自己在何时何处容易不细致，这可以通过考试的统计结果反映，进而不断强化提醒自己“我这里容易错”，考试时候慢慢多留一个心眼，同时考试时利用数学内在的一些原理进行检查，并时刻思考答案的合理性。
培养坚持，平时要多去钻研，尤其是在时间相对较多时，花上个把小时钻研一两道难题，把题做精，寻找最优解，考试则要树立挑战者心态，把自己看成与题目的平等交流者，而不是去仰视题目，去假定自己肯定做不会，而应该是抱着“我不一定会，但我尽力去想”的态度，有时反而能得到所期望的结果。
培养灵活，就是要掌握一定的考试技巧，例如小题的快解方法，可以帮助节省大量的时间。同时有时候可能考试时钻研了一段时间无果，就要灵活变化，壮士断腕不再死磕。或者做了几个题感觉到考试难度较大，则将思路从“少丢分”转化为“多得分”，从减法到加法。根据情况灵活变换路径，当然也要大量的练习考试培养这种素养，在总结中反思潜在的捷径，在不同的情景下尝试使用并熟悉，从而练出最快速度。
很多同学考场上突然不会做，一下考场就明白了，这不是能力不行，而是面对大考的心态和思维不是平时做练习的心态和思维，每临大事有静气，不信今时无古贤，数学精神就是如此推举我们走这最后一公里。尽力去做，正确的方法往往在正确的心态之后水到渠成。
比如我今天做一套物理小题全对，那我十分高兴，甚至在对完答案的那一刻感觉自己简直无敌；第二天做数学小题错了四五道，就感觉自己一文不值，水平好差，就不想继续下去。实际上，这是一种不健康的机械刷题心态。我们已经说过，我们的水平其实是不断提高的，所以不要因为几道题的对错就否定自己或者自我满足，这些都决定不了你的真实水平，反而要对自己说：“我做错了，那怎么样呢？”而从中总结教训，有所收获，才是最重要的。
三
数学精神
数学精神要求我们不仅探究问题的解，还要探究问题的来龙去脉，它到底是考查什么，它背后蕴含了哪些原理原则。例如我们对ex的泰勒展开截取局部就可以得到不等式：
进行局部加参可以命出很多导数问题。
对数学问题本质的探究是数学精神的重要组成，例如一次讲导数压轴老师补充了洛必达法则的路径，本人感受到其强大的作用，想要探究其来源证明，发现高等数学书中的夹逼极限法高中不易理解，又发现某些特定的洛必达极限计算可以化为导数的定义，于是就想到将分母进行代换重新设元化为导数的定义形式，再利用同自变量下反函数求导与原函数求导的关系得出了不使用夹逼极限的洛必达法则证明。
这次探究让我更加清楚了导数定义的应用和自变量转化思想，极大地帮助了我对于导数的深刻理解。但与此同时对数学本质的探索往往意味着要具备一定的超越高中数学的知识，因此建议同学们根据自身情况适当取舍，可以适当了解高等数学的部分内容和部分竞赛知识，但不要本末倒置，基础还是关键。
数学精神的另外一个方面表现在更实际的情境中，即面对困难的钻研精神和沉着心性。数学需要冷静的头脑，要学会以谦和自信的态度面对任何数学题目，要以研究探索精神尝试新题的解决方案，要在艰难困苦中坚持到最后。这也是可以通过平时的练习磨炼出来的，同时也是笔者认为数学学习中的最难熬也是最大收获的部分。
数学学习，任重道远，路漫漫其修远兮，上下求索，永无止境；数学学习，异彩纷呈，柳暗花明又一村，探知访理，其乐无穷。高中数学，看起来总是和题目、考试、枯燥、抓狂联系起来，其实数学是一种美学，一种精准定量的美学。我们要从题海里抬起头，在卷浪中直起身，看一看头顶的数学星空，代数精确，几何优美，无穷神秘，何其美丽！高中三年，学海无涯，数学常常让我们灰头土脸，但深情未变，相信诸贤一定能有所收获，无悔韶华！
供稿 | 汤家淇，内容有修改
美编 | 陈美凝
审校 | 谢宇航
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