第一章 集合与映射
加、减、乘、除是中小学中的四种基本运算，它们的运算对象是数（主要是整数、有理数和实数）．与此对应，极限、微分（导数）、积分则是数学分析中的三大基本运算，它们的运算对象则是比数的含义更为广泛的一类数学对象—函数．因此，函数的概念是数学分析中的基本概念．
本章将介绍函数的概念、表示法、基本特性以及幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数这五种基本初等函数，为今后的学习奠定必要的基础．
1.1 函数的概念
1.1.1 函数的概念
定义1.1.1 设是两个非空数集，如果存在
到
的一个对应关系
，使得对于
中每一个数，通过对应关系
，中都有唯一确定的数与之对应，这时我们称是定义在上的一个函数，记为，称为函数的定义域，的所有数在作用下的对应值的全体{}称为函数的值域．称为函数在处的函数值．
在函数关系中，称为自变量，称为因变量，有时也简称是的函数．
由函数定义可知，要决定一个函数必须知道函数的定义域和自变量与因变量之间的对应法则，这就是说，定义域和对应法则是确定函数的两个要素．因此，定义两个函数的相等和四则运算需要同时考虑这两个因素．
定义1.1.2 设函数与都是定义于非空集合的两个函数：
(１)如果对于一切，有，则称函数与相等，记为.
(2) 函数与的和，差，积，商分别定义为
＝，，
＝，，
＝，，
.
注：①作为函数的特殊情况，数（实数集）与函数的乘法定义为
，
称为数乘.
②两个函数和相等， 则它们必须有相同的定义域并且在其定义域内每一点有. 否则，和是不相等的. 例如，函数和
是不同的两个函数, 因为它们的定义域不同． 例1.1.2中人均收入函数和人均消费函数的定义域相同， 但对应关系不同，所以是不同的两个函数．
1.1.2 函数的表示法
常见的函数表示法有图象法、表格法和公式法三种．
1. 图象法
函数关系是由坐标平面上的图象给出的. 例1.1.1中的温度相对于时间的函数就是用图象法表示的。这种表示法直观、通俗、容易比较，例如：图1-1-2(a)是健康人的心电图，通过图1-1-2(b)与图1-1-2(a)作比较，医生立即得知，心电图为图1-1-2(b)的人有严重的心脏病．
2. 表格法
函数关系是由表格给出的．例1.1.2中人均收入函数和人均消费函数就是用表格法表示的函数。这种方法的优点是直观、精确、进行四则运算方便．
3.公式法
用方程的形式来表示的函数称为是公式法表示的函数。例如：圆的面积A是半径的函数，其关系式为
⑴
又如：在自由落体运动中，物体下落的距离是时间t的函数
⑵
公式法的优点是便于数学上的分析和运算（四则运算、微积分运算）。本课程中各种运算的运算对象主要是这类函数．
(1)分段表示
设 A, B 是两个互不相交的实数集合，
这种在不同的定义域范围内函数的表达式不一样的函数叫做分段函数．
(2)隐式表示
通过方程 F(x , y) =0 来确定的变量x与y之间函数, 关系的方式称为函数的隐式表示.
(3)参数表示
通过建立变量 t 与 x，t 与 y之间的函数关系，间接的确定 x 与 y 之间的函数关系
即
这种表示法称为函数的参数表示
1.1.3 区间和邻域
１．区间
设,是二实数且
满足的全体实数，叫做闭区间，记为［,］．
满足的全体实数，叫做开区间，记为（,）．
满足或的全体实数，叫做半开半闭区间，分别记为［,）或（,］．
以上统称为有限区间，,称为它们的端点，显然，开区间不包括端点，闭区间包括两个端点，半开半闭区间只包括一个端点．
满足和的全体实数分别用和()来表示，这些区间都叫做无穷区间．
２．邻域
与是两个实数且>0，则满足不等式的全体实数，叫做点的邻域．它是端点为与的开区间（），它的长度是2，点称为这个邻域的中心，称为它的半径．的邻域也可以用不等式－<－<来表示，记为：．满足不等式的全体实数叫做点的去心邻域，记为：．
典型例题：
例１ 已知，，求，， .
解 ，
例2 (1) 符号函数
(2) 荻利克莱函数（Dirichlet，德国，1805—1859）
此函数的图形无法准确描出，但图形是可以想象的．
(3) 黎曼函数（，德国，1826—1866）
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