7.3 微积分基本定理
一、 积分上限函数
设函数在
连续，对于，函数在区间亦连续，根据定理7.1.1,
在可积，这说明，积分
都对应唯一一个确定的值，因而是变动上限的函数，记作
这个函数称为是在区间的积分上限函数.
关于积分上限函数有如下性质：
定理7.3.1 若函数在区间连续，则在可导，且
即积分上限函数是被积函数的一个原函数．
推论 若在区间连续，则在区间上必存在原函数．
二、 微积分基本公式（牛顿-莱布兹公式）
我们知道，不定积分是为了解决求导或微分的逆运算发展起来的，而定积分则是在实际生产和实际应用中发展起来的，例如：求曲边梯形的面积、变力所做的功等．在17世纪以前，它们一直是各自发展的，相互间没有什么联系，那时，要计算一个定积分只能用定义，计算是繁琐的、困难的．直到17世纪的60年代（牛顿1642--1727）和70年代（莱布尼兹1646---1716）分别独立发现了微积分基本公式，定积分的计算问题才得到了较为圆满的解决，此问题的解决是数学上的一次伟大的革命，为了纪念这两位伟大的的数学家，后来人们就把这一定理中的公式称为牛顿----莱布尼兹公式．
定理7.3.2 设在区间连续，若函数是在的一个原函数，则
注： 常常将 记作. 因此，牛顿 莱布尼兹公式可记为
.
定理7.3.3 若在区间可积，函数在连续并且除去有限个点外，恒有
，
则 .
三、 定积分的计算法则
我们知道，利用牛顿 莱布尼兹公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元积分法和分部积分法是求不定积分的基本方法．现在，我们把这些方法推广到定积分上而直接应用．
1、换元积分法
定理7.3.4 设在上连续，上有连续导数，且严格单调，当时，有，且，则
2、 分部积分法
定理7.3.5 设函数在区间上具有连续的导数，则有下列积分公式：
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