9.2 正项级数
会用正项级数的比较判别法， 掌握正项级数的比值判别法、根式判别法，掌握p-级数收敛的条件。
定理9.2.1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列
有界．
定理9.2.2（比较判别法）设和是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切都有
(1)
那么 1 若级数收敛，则级数也收敛；
2 若级数发散，则级数也发散．
推论9.2.1（比较判别法的极限形式）设和是两个正项级数，若
(3)
则 1 当时，级数和同时收敛或同时发散；
2 当且级数收敛时，级数也收敛；
3 当且级数发散时，级数也发散．
定理9.2.3（达朗贝尔判别法或称比式判别法）设级数为正项级数，且存在某自然数及常数，
1 若对一切，不等式
(6)
成立，则级数收敛；
2 若对一切，不等式
(7)
成立，则级数发散．
推论9.2.2（比式判别法的极限形式）若为正项级数，且
(9)
则
1 当时，级数收敛；
2 当或时，级数发散．
定理9.2.4（柯西判别法或称根式判别法）设为正项级数，且存在某自然数及正数，则
1 若对一切，不等式
(11)
成立，那么级数收敛；
2 若对一切，不等式
(12)
成立，那么级数发散．
推论9.2.3（根式判别法的极限形式） 设为正项级数，且
(13)
则 1 当时，级数收敛；
2 当时，级数发散．
定理9.2.5（柯西积分判别法） 设函数上非负递减函数，则正项级数与非正常积分同时收敛或同时发散．
典型例题：
例9.2.1 判别级数的敛散性．
解 因当时，有
，
而级数收敛，故由定理10.2.2知也收敛．
例9.2.2 判别级数的敛散性．
解 因为
而几何级数收敛，故级数也收敛．
例9.2.3 判别级数的敛散性．
解 因为
所以级数收敛．
例9.2.4 讨论级数的敛散性．
解 因为
按照根式判别法的极限形式有：当时，级数收敛；当时，级数发散；而当时，级数为，显然也发散．
例9.2.5 讨论级数的敛散性，这个级数通常称为p 级数．
解：作，考虑积分（）
而当时，级数已知是发散的．因此，对于p—级数来说，当时发散，当时收敛．
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