9.6 函数的幂级数展开
掌握的幂级数展开，并会用它们将一些简单的函数间接展开成关于
的幂级数。
9.6.1函数的幂级数展开式
定理9.6.1 若函数在区间内能展开成幂级数，即
则函数在区间内存在任意阶导数，且
(1)
其中．
定义9.6.1 若在处存在任意阶导数，则级数(2)称为函数在处的泰勒（Taylor）级数，记作
(3)
其系数称为泰勒系数（时，为）．
级数(2)中时，称为的马克劳林（Maclaurin）级数，记作
(4)
定理9.6.2 若函数在内存在任意阶导数，且对内任意一点泰勒公式的余项，则
定理9.6.3 若函数在内存在任意阶导数，且存在正数M，对任意自然数，对内任意一点，有
则 (5)
9.6.2 初等函数的幂级数展开
典型例题：
例9.6.1 将函数展成马克劳林级数．
解 由于，对于任意，均有
根据定理10.6.3, 在内可展成幂级数．因为r是大于零的任意实数，所以，在上可展成幂级数，即
(6)
此题也可直接证明拉格朗日余项的极限为零．
例9.6.2 将函数展成马克劳林级数．
解 由于，且，
据定理10.6.3, 函数可展成马克劳林级数．
因为，故
(7)
同理
(8)
例9.5.3 将函数展成马克劳林级数．
解 当时，有
于是，的马克劳林级数是
(9)
由比式判别法可知：(9)式的收敛半径，下面在上考察它的柯西余项：
由比式判别法，级数在时收敛，故有 .
又由于时，有，从而有
再当时，有，于是,.
故当是与n无关的有界量；当时，也有同样结论.综上所述，当时，．故
, (10)
在端点处，(10)式是否成立与的取值有关，其结果如下
(1) 当时，收敛域为；
(2) 当时，收敛域为；
(3) 当时，收敛域为．
当(10)式中为正整数n时，右端只有n+1项，此时即为二项式定理．
当时，就得到：
(11)
若把，又得大家熟知的几何级数：
(12)
当时，得到
(13)
其中通项可记为 ．
当时，得到
(14)
对于一般的函数而言，求其n阶导数的通项公式比较困难，而研究其泰勒公式的余项在某区间内趋于零的问题则更为复杂，因此，直接从定义出发求一般函数的泰勒级数是相当困难的．更多的情况是从已知的展开式出发，通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等方法，间接地求得函数的幂级数展开式．
例9.6.4 求的马克劳林级数．
解 因为 (15)
所以，将(15)式从0到x逐项积分得
(16)
同理,
(17)
将(16)式减去(17)式得
(18)
例9.6.5 将函数展成马克劳林级数．
解 因为，故逐项求导就有
例9.6.6 将函数处展成幂级数．
解 先将，在利用，作变换，即得的幂级数展开式．故有
例9.6.7 求非初等函数的马克劳林级数．
解 因为
逐项积分得：
.
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