11.3 多元函数的泰勒公式与极值
掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。会求二元函数的极值。
定义11.3.1 设二元函数定义在区域
上，是的内点，若存在有
则称函数在点取极大值(或取极小值)，称极大值(或极小值)，称为函数的极大点(或极小点)．
极大值与极小值统称为极值，极大点与极小点统称为极值点．
下面是函数在一点P取得极值的必要条件．
定理11.3.2 若函数在点存在两个偏导数，且在点取极值，则
定义11.3.2 方程组的解(平面上某些点)，称为函数的稳定点．
定理11.3.3 若函数在点的邻域内所有二阶偏导数连续，且是函数的稳定点，设,, ，则
(1) 当时，函数在点取极值．
1°当(或)时，函数在点取极小值．
2°当(或)时，函数在点取极大值．
(2) 当时，函数在点不取极值．
典型例题：
例11.3.1 求函数的极值．
解
令 解之得
即点(1,0)是稳定点．
又因，，则
故函数在(1,0)取极小值，其极小值为：
．
例11.3.2 某厂要用铁板做成一个体积为2立方米的长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使得用料最省？
解 设长，宽，高分别为，则，且长方体表面积为：
从而
令 解之得
又因
从而
由，故点是函数S的极大点，其极大值为：
即，当长，宽，高都等于时用料最省，一个水箱的最大用量(立方米)．
例11.3.3 设长方体内接于半径为的球内，问长方体的边长分别为何值时，其体积最大?
解 取球心为原点，坐标平行于长方体的棱，是长方体在第一卦内的顶点坐标，则长方体体积为：
故
其中
令 得
即函数在有唯一的稳定点而在的边界和上的值均为零．由实际问题知，此问题有最大值，故最值点必是稳定点．从而，当长，宽，高分别为时，体积最大，其最大值为
．
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