一元函数的定积分其积分范围是数轴上的闭区间，将一元函数的定积分推广到二元函数和三元函数的情形时，由于函数的定义域分别变成了平面区域和空间区域．因此，二元函数和三元函数的积分必然是分别在平面区域和空间区域上．这两种函数的积分就是本章将要讨论的二重积分与三重积分．
12.1 二重积分的概念与性质
12.1.1 二重积分的概念
我们用计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量两个实例来引进二重积分的概念．
例12.1.1 曲顶柱体的体积
设是定义在有界闭区域
上非负连续函数，它在直角坐标系中的图形是一张空间曲面
（图12-1-1）．怎样求以曲面
为顶，以区域为底，其侧面是一柱面（它的准线是区域的边界L，母线平行于Z轴）的曲顶柱体的体积？
分析：我们容易看出，它与求曲边梯形面积问题是类似的．可以用与定积分类似的方法（即分割，近似代替，求和，取极限的方法）来解决．
(1) 分割：将区域任意的分成n个小区
域
称为的一个分割（以后也用表示第个小区域的面积），相应地此曲顶柱体被分为
n个小曲顶柱体．
(2) 近似代替：对，任取，用高为，底为的平顶柱体的体积来近似代替第i个小曲顶柱体体积．
(3) 求和：n个平顶小柱体之和近似地等于该曲顶柱体体积，即
. (4) 取极限：用表示所有小区域的直径的最大者．当λ→0（即n无限增大，每一个小区域都缩为一点）时，上述和的极限（如果极限存在的话）就是曲顶柱体的体积：
．
例12.1.2 平面薄板的质量
设薄板在平面占有平面区域，它在点处的面密度是，求薄板的质量M．
解 (1) 分割：用曲线网将区域任意地分成n个小区域
(2) 近似代替：对，任取，用近似代替小薄板的质量，即
(3) 求和：将所有小薄板的质量加起来，就是薄板的质量：
(4) 取极限：用表所有小区域的直径中取大者，并令λ→0（即每一个小区域都缩为一点）时，则
（如果上式右端极限存在，则上式成立）．
从上两个具体例子可以看出，虽然它们的具体意义完全不同，但最后它们都归结为求一个和式的极限；因而，我们抽象出二重积分的定义：
定义12.1.1 设是平面上的有界闭区域，二元函数在区域上有意义，将区域任意地分成n个小区域
记的直径为，并令．对
，任取，作乘积
把这些乘积加起来，得和式：
如果存在常数，无论区域上的分割如何作，如何取，都有：
(*)
则称函数在可积，其中常数称为在的二重积分，记为，其中称为积分区域．
定义12.1.1中，(*)式等价于“”的说法：对，无论上分割如何作，如何取，只要，则恒有
从定义12.1.1，我们自然要问：是否所有定义在有界闭区域的二元函都存在二重积分？这个问题的答案显然是否定的，因为我们能找到二元函数
这函数在闭区域不存在二重积分（请读者自证）．由此，我们又提出问：定义在有界闭区域的二元函数满足怎样的条件才能保证在的二重积分存在？下面是这问题的一个部分回答．
定理12.1.1 若函数在有界闭区域有界，则在可积（即在二重积分存在）．
定理12.1.2 若函数在有界闭区域有界，不连续点只分布在的有限条连续曲线上，则函数在可积．
由定理12.1.1可知，例12.1.1与例12.1.2中函数与在有界闭区域上连续，则曲顶柱体的体积：
而平面薄板的质量：
．
12.1.2 二重积分的性质
二重积分的性质与定积分的性质类似，其证明方法相同．因此，除二重积分中值定理的证明外，其余性质都只叙述不证明．下面定理中的区域都是有界闭区域．
定理12.1.3 若，则
其中是区域的面积．
定理12.1.4 若在可积，是常数，函数在也可积，且
．
定理12.1.5 若函数与在都可积， 则函数
在也可积，且
．
定理12.1.6 若函数在与都可积，则在也可积，当与没有公共点时，有
．
定理12.1.7 若函数与在都可积，对，有
则
．
定理12.1.8 若函数在可积，则函数在也可积，且
定理12.1.9（中值定理） 若函数在连续，则，使得
其中：是区域的面积．
证明：因为在有界闭区域连续，所以，在可取得最大值与最小值，即，有
根据定理12.1.6，定理12.1.3与定理12.1.2，有
其中：是区域的面积，，或改写成：
再由闭区域上连续函数的介值定理：至少存在，使得
即
．
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