【课程】西南科大网教学院_数学分析49_13.6 高斯公式、斯托克斯公式

13.6高斯公式、斯托克斯公式

 

   一、高斯公式

    格林公式建立了平面区域D上的二重积分与D的边界曲线C上的第二型曲线积分之间的关系.同样,空间区域V上的三重积分与V的边界曲面S上的第二型曲面积分之间也有类似的联系.这就是本段要讨论的高斯公式.

    定理13.6.1 设空间区域V由光滑的双侧封闭曲面S围成.函

在V上连续,并且具有连续的一阶偏导数,则

.

其中,S是区域V的边界曲面的外侧．上式称为高斯公式（也称为奥—高公式）．

    在奥—高公式中,若令

,则可得另一个计算空间区域V的体积公式

.

其中,S是空间区域V的边界曲面的外侧.

    利用奥—高公式可以简化某些第二型曲面积分的计算.

   二、 斯托克斯公式

本段所讨论的斯托克斯公式主要是建立沿空间有向曲面S的第二型曲面积分与沿S的有向边界曲线C的第二型曲线积分之间的联系．

 图13-6-3

设曲面S是分片光滑的有向曲面．我们规定其边界曲线的正向按右手法则, 即如图13-6-3所示，当右手大拇指指向有向曲面S所指定的法线方向时，其他四个手指的方向就是有向曲面S的边界曲线的正向．

定理13.6.2  设S是分片光滑的有向曲面,并且S的边界曲线是分段光滑的,函数

在S及其边界上具有连续的一阶偏导数,则

 

                 

.              (*)

其中,C是有向曲面S的边界曲线并联且取正向,上式便是斯托克斯公式．

为了便于记忆,我们可以把斯托克斯公式

 

写为         

.

把上式中的行列式按第一行展开,并规定

就是

,其余依次类推,就得到标准的斯托克斯公式(*)．

显然,当曲面S是xOy平面上的平面区域时,斯托克斯公式便化为格林公式．

    由斯托克斯公式可以导出空间曲线积分与路径无关的条件．为此,先介绍空间单连通区域的概念．

    区域V称为单连通区域,如果V内任意封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于V的一点,如球体是单连通区域；非单连通区域称为复连通区域,如环状区域就是复连通区域．

    定理13.6.3 设

为空间单连通区域,若函数

在V上连续,并且有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价.

    1° 对V内任一按段光滑的封闭曲线L,有

；

    2° 对V内任一按段光滑的曲线L,曲线积分

与路径无关；

    3°

是V内某一函数u的全微分,即

；

4°

在V内处处成立．

典型例题：

  例1. 计算

,其中,S是由

与

所围成的半球区域V的边界曲面的外侧．

    解　应用奥—高公式,有

例2. 计算

,其中C

为坐标平面xOy上的圆周:

,并取逆时针方向．

解：取平面

的上侧为正侧,则C的方向就是有向曲面S（圆域的上侧）的边界曲线的正向．由斯托克斯公式,得