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代数学习困难的心理学分析及解决措施
——数学教育心理学系列讲座之五
人民教育出版社 章建跃
数量关系的符号表示是代数的灵魂，它能使复杂的数量关系变化规律得到简明表示，而且符号和表达式还能够在探索解决问题的途径中提供线索。代数学习中，学生通过式、方程、函数、不等式、数列等学习内容，接触到语言的、数字的、符号的和图像的等各种数学表示，在学习这些表示的过程中，体会和理解用符号语言、构造方程或函数的手段来表述各种关系、描述各种变化的方法。
一 代数学习困难的心理学分析
代数学习是在算术学习基础上进行的。从心理学角度看，代数学习要以学生抽象逻辑思维的发展为基础。学生在小学阶段已经接触过某些代数思想，例如用“设未知量为x”建立方程的方法解数学应用题，当然，对“未知量x”含义的了解是非常肤浅的。进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。
1．学生思维发展水平方面的原因。
字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。通过有关数、式、方程、函数等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法。通过代数学习，使学生的归纳、演绎、抽象、概括等思维形式都获得发展。从运算的角度说，代数运算（特别是式的运算和函数运算）主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高，不像小学数的运算那样，有现实背景作为思维的强有力依托。因此，代数学习在促进学生逻辑思维发展的同时，又要以形式逻辑思维能力的发展作为基础。
心理学家曾经从（1）数学概念形成水平的发展；（2）数学命题演算水平的发展和（3）数学推理能力水平的发展等三个方面研究了中学生形式逻辑思维水平的发展情况，研究表明：
在概念形成水平的发展上，要经历了解与认识概念、理解与掌握概念和灵活运用概念等阶段。当前，学生（特别是初中学生）对概念的认识较多停留在感性的、初步的水平上，而对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。
在数学命题演算水平的发展上，要经历能对带有全程量词的简单命题进行演算但不能理解命题演算过程中逻辑连接词含义、能进行简单命题的合并和否定演算、能进行符合命题的否定演算等三级水平。通过循序渐进的命题形式的演算，学生的命题演算水平获得了发展，而且呈现年龄特征。初二学生大都集中在第一级水平上，初三学生虽然在同一级水平层次上有所发展，但仍以第一级水平上的人数为多。进入高中后，第一级水平的发展似乎停止，后两级有一个飞速发展。这与学生的思维水平趋向成熟有关，也与高中数学课程中直接学习集合、简易逻辑等与命题演算直接相关的内容有关。所以，大多数初中学生的逻辑思维能力发展的水平较低。另外，学生掌握命题结构的能力普遍较低。
数学推理可以分为似真推理和逻辑推理两个方面。在解决问题的过程中，分析问题、选择解法往往以似真推理为主，而解题方法的具体实施则多与逻辑推理相关。逻辑推理的发展要经历四级水平：直接推理水平，即套用公式直接推出结论；间接推理水平，即需要进行条件转化、寻找依据、经过多个步骤得出结论；迂回推理水平，即需要深入分析条件及相互关系，提出假设，反复验证后才得出结论；综合性推理水平，即要按照一定的数理逻辑规则、格式进行推理，追求推理过程的简练、合理。研究表明，中学生逻辑推理水平普遍较低，初一学生有一半以上不能套公式做题，高中学生还有人不能按公式进行一步推理；多步推理成为普遍难题，综合性推理更是困难重重。
由上所述可知，学生形式逻辑思维发展水平不够是造成代数学习困难的主要原因之一。由于学生的思维发展有其自身的规律性，数学学习受到这种发展规律的制约，因此，在数学课程、教材和教学中，对学生提出恰当的要求是非常重要的。
以下三条更加直接针对了代数学习。
2．自然语言、数学语言的理解能力以及转换能力方面的原因。
数学知识使用专门的数学语言来表述，数学思维必须借助于数学语言才能进行。因此，数学语言既是数学思维的产物，又是数学思维的工具。数学学习的目的就是要学会一套具有一定系统性的数学语言符号体系，并能在遇到问题时采用恰当的数学符号对问题作出表示。这种学习是建立在自然语言能力基础上的。研究表明，数学语言及自然语言理解能力低、数学语言与自然语言的相互转换困难等都会导致代数学习的困难。
首先，自然语言常常是模糊的，有不确定性。将自然语言不加限定而直接应用到数学中来，就有可能造成错误。有人举过这样一个例子：“一粒麦子构不成一堆，对于任何一个数字n来说，如果n粒麦子构不成一堆的话，那么，n＋1粒麦子也构不成一堆。因此，任意多的麦粒都不能形成堆。”造成这个悖论的原因就是因为用了自然语言中“堆”这个模糊概念。因为n粒麦子与n＋1粒麦子是否构成“堆”的界限是模糊的。
为了克服这种模糊性，数学中常常对自然语言进行改造，加以限定、修饰，使其精确化，从而形成了数学语言简练、明白、准确、形式化的特点。例如，“a＋b＝b＋a”表示交换律，“y＝f（x）”表示一元函数，等等。这些内容如果用自然语言来叙述的话，不仅复杂，而且还不一定准确。
对数学语言表述的理解，学生之间有差异性。例如，有人以“2元纸币的数目是5角纸币数目的7倍，5角纸币的总值比2元纸币的中至多3.60元，列方程求解2元、5角纸币的数目”为题，要求学生列出方程，结果出现三种情况：
（1）设x为5角纸币的数目，方程为：5x＝20×7x＋36；
（2）设x为5角纸币的数目，方程为：20×7x＝5x＋36；
（3）题目错误，不能求解。
分析显示，得出（1）的学生是根据语言表述的结构直接列方程；得出（2）的学生考虑了语言表述的实际内容，从符合实际的角度列出方程；得出（3）的学生综合考虑了上述两种情况。
因此，心理学家认为，理解数学语言表述的句子，应从三方面进行：数学语言的句法结构、数学语言表达的实际内容（称为语义内容）、句法与语义的关系。从学生代数学习的表现看，他们在上述三个方面都存在困难。
3.数字运算不过关的原因。
小学学习的数字运算，即正有理数的加、减、乘、除等，是代数学习的必备基础。所谓“数字运算过关”主要有三方面含义，一是能够在一定算理的指导下，根据算法正确地完成运算任务；二是能够根据题目特点，选择恰当的算法，合理、迅速地进行运算；三是能够对运算结果进行评估。这里特别强调正确前提下的运算速度问题，因为它不仅反映了学生对运算原理、法则理解的程度差异，而且还反映了运算习惯、思维概括能力等方面的差异。数字运算速度、运算习惯主要应当在小学阶段培养。显然，数字运算中内涵的这些关于运算的正确性、合理性、敏捷性、灵活性等品质，对于中学代数学习是至关重要。调查表明，由于小学数学教学中培养措施不当，导致许多学生错过了养成良好运算习惯、形成必备运算技能的机会，致使后续的代数运算出现困难。
4.数字记忆广度方面的原因。
数字记忆广度是指在一定的时间内所能够记忆的数字容量，它反映了一个人对数字材料进行加工和处理、储存和检索的能力。数学学习要求学生能够迅速而稳定地记忆学习材料。这里不仅需要他们能够记住以往学过的定理、公式、法则等“结果”，而且还能够对“结果”的来龙去脉、作用等有良好的记忆。做到这些的前提是在学习过程中对数学学习材料进行充分的加工，通过对数学语言的句法结构、语义及其两者之间联系的分析、对解题方案的深加工、挖掘数学思想方法等认知活动，尽量将学习材料中各种信息组合成“信息组快”，从而增加记忆容量、扩大记忆范围、延长记忆时间。研究表明，代数学习困难的学生普遍存在记忆容量少、记忆线索模糊、记忆层次不清、记忆顺序混乱、记忆时间短等问题。造成这些问题的原因，主要是对数学学习材料中各种信息的组织、加工处理能力不足，长时记忆处于内容无序、结构混乱、提取线索不清晰的状态等。
二 解决代数学习困难的措施
1.加强中小学数学的衔接。
小学算术教学已经渗透了一些代数的基础知识，不过，学生对这些知识的认识还非常肤浅。例如，许多学生认为，2x＝7与2y＝7的意义不同，因为它们所含的“未知数”不同。因此，初中代数入门教学，既要强调在学生已有代数知识基础上开展新的代数教学，又要注意纠正学生在以往学习中形成的不恰当概念。
负数的引入是代数学习的第一个难点。解决这个难点的措施，一是让学生从自己的生活经验出发，充分认识到客观世界中存在着许多具有相反意义的量，为了使它们在数学上得到准确的表示，就需要在已有正数的基础上引进表示相反意义的量的方法—负数；二是通过一定的数学运算，使学生感觉到只在正数的范围内就不足以完成新的运算，从而产生引进负数的需要。在具体教学中，可以利用“数轴”这一有力工具，通过“顺序”解决有理数的大小比较问题，在此基础上，再解决“减去一个数等于加上这个数的相反数”这个难点。例如：计算2―（―5），由于2在（―5）的右边，比（―5）大7，因此计算结果为7，相当于2＋5。
用字母表示数是从算术到代数的重要转折点，但是，它的学习是建立在算术学习基础上的。教师应当通过具体数字运算，让学生观察，总结规律，形成对“用字母表示数”的必要性的认识。实际上，过去学过的运算律（交换律、结合律、分配律等）、简单几何图形的面积、行程问题等知识，都能说明用字母表示数的重要意义：普遍性、应用的广泛性等。
初一教师还应当注意研究小学的教学方法。从思维发展角度看，初一学生的思维仍然处于直观形象思维水平，与小学生基本上处于同一阶段。教师应当充分注意这一特点，使教学符合学生的思维发展水平。教学中应充分利用学生已有的生活经验，通过对典型的、数量足够的实际事例的观察、分析、概括等来理解抽象的数学内容，并让学生有充分的反复练习机会。
教学中还要注意数学思想方法的衔接。例如，代数中的列方程解应用题是从小学的算术方法解应用题过渡而来的，它们的一个共同特点是寻找等量关系。这样，本着比较两种思想方法的目的，可以在开始阶段让学生用“算术法”和“代数法”解同一个问题。在教师的引导下逐渐使学生认识到，在“算术法”中，未知数处于特殊地位，解题时一般由已知数为先导，逐渐向前探索，在解题基本结束时才确立已知数与未知数之间的关系，这使题目的条件无法得到充分利用，导致解题困难。而“代数法”解题中，先用字母代替未知数，等于增加了一个条件，这个字母成为后续的分析和解决问题的有力“拐杖”。在寻找等量关系时，未知数始终和已知数处于同等地位，这就可以在解题过程中从整体出发，全面考虑情况，这为等量关系的建立提供了极大方便。另外，未知数介入运算，在列式、计算上都比较简捷。
2.重视不同语言相互转换的训练。
首先，教师应当注意学生在日常生活和语文学习中形成的自然语言对数学学习的影响。实际上，代数学习需要学生有较强的阅读能力，代数知识的学习，首先是从对定义、定理、公式、法则等中的字词含义的理解开始的，因此词汇理解能力是代数学习的基础（实际上也是整个数学学习的基础）。教学中要注意让学生辨析相同的文字、符号在自然语言和数学语言中语义上的差异。例如，代数中的主要概念“变量”，它不是用来表示某个具体的量，而是用来表示任意“可能的”量，字母“x”可以理解为任意实数。但在自然语言中，一个词是否表示变量则与具体语言背景有关。例如，“学生都学数学”这句话中的“学生”是一个变量，它是泛指在学校里学习的任意一个人的，但在“这个学生没上数学课”这句话中的“学生”就不是变量了。
其次，应当丰富学生的数学语言，培养学生理解数学语言的内涵和外延的能力，并逐渐使学生学会用数学语言表述思想。这里，数学概念的理解和掌握是丰富学生数学语言的主要途径，教师应当要求学生不但记住数学概念的名称，而且要掌握概念的产生背景和约束条件。数学原理、公式和法则等的学习则是建立数学语言句法结构的关键，因为数学是从数或形的角度对客观事物进行研究的，形式化、符号化、模型化是数学研究的主要特征，这就使得数学日益成为形式系统，包括规定数学词汇，建立数学概念系统；规定数学词汇如何构成公理的形成规则、公式变形的逻辑规则、以及作为推理的命题演算规则等，这些规则形成了数学语言的句法结构规则。而建立数学语言的语义与句法的逻辑联系则主要通过数学知识的应用来完成，其中包含感知问题的视觉语言、将视觉语言转化为数学文字符号或图形、将数学文字符号依据一定的数学原理整合成数学语句、建立数学语句与数学定理、公式、法则等之间的联系从而找到解决问题的关键等不同层次的认知活动。
再次，要加强自然语言、数学符号语言、图形语言相互转换的实践。例如，在代数入门阶段，既可以让学生由文字语言写出代数式，也可以让他们说出代数式所表达的意义；在应用题教学中，可以让学生先用自然语言、图表语言列式，然后引进代数符号建立等量关系，还可以让学生用自己的语言（自然语言）叙述某个方程所表示的等量关系等。将抽象的数学语言转化为自然语言（即用学生自己的语言阐述数学问题），把用符号或图形、表格形式表示的关系转化为自然语言的形式，把自然语言表述的关系转化为数学符号、图形、表格的表述形式，等等，都是非常重要的数学活动，也是解决代数学习困难的重要措施。
最后，为学生提供数学交流的机会。让学生“出声想”，说出自己对数学知识的理解过程，说出自己的解题思路、对问题的分析过程，通过在“学习共同体”中个体思维的外化，来锻炼学生的数学语言理解力和表达能力，纠正“词不达意”的现象，提高数学语言水平，从而促使学生建立起良好的数学语言系统。
3.养成代数学习的良好习惯。
代数是由常量数学向变量数学过渡的内容，在这个阶段养成良好的学习习惯，对后续的学习意义重大。为此，在代数概念教学中，应要求学生对概念达到全面准确的理解；对公式、定理、法则的学习要达到在理解它们的来龙去脉、适用范围等基础上的准确记忆；在运算训练中，要强调细致、周密，正确前提下的快速。
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