例说数学解题的思维过程
陕西师范大学数学系 罗增儒
在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注.暴露概念的形成过程,暴露命题的发现过程,暴露证明的探究过程等,包括暴露这些过程中犯错误的真实活动.但是,这种暴露大多停留在可见事实的陈述上,内在思维性质的细致揭示不多,也常常进行到思路初步打通、结论初步得出时就停了下来.本文想从解题分析的角度提供一个简单例子,展示内在的思维过程,并在证明得出之后仍继续进行下去.先给出题目:
两直线被第三条直线所截,有外错角相等,则两直线平行.
1.浮现数学表象
通过认真阅读,我们接收到题目所提供的信息,首先在脑子里出现了一个图形(几何型表象),与这个图形相伴随的是一个问题(代数型表象):由数量关系去确定位置关系.
在问题的牵引下,思维的齿轮开始启动,有3个展开的起点.
(1)由图形表象,我们回想起“三线八角”基本图形,回想起与此图形有关的命题,如两直线被第三条直线所截,有:
1)同位角相等
2)内错角相等
这些命题的附图,在我们脑海里逐幅浮现出来.
(2)由条件
1)由角的相等关系能得出什么?进而问
2)图1中有与
3)图1中有与
一开始,“由条件能推出什么”是一道开放性问题,我们不知道该往哪些地方推进,但随着对结论思考的深化,会慢慢明朗起来.
(3)由结论
由此激活了记忆储存中的相关知识,并又激活更多的记忆储存(扩散):
1)同位角(内错角)相等,则两直线平行;进而问
2)什么是同位角(内错角)?图1中有同位角(内错角)吗?有相等的同位角(内错角)吗?
3)已知条件的相等角能导出“同位角(内错角)相等”吗?
……
这是表象的一个有序深化过程.
2.产生数学直感
上述三方面的思考,促使我们更专注于图形,图中有3条直线,8个角,8条射线,1条线段,其中哪些信息对于我们解题是有用的,哪些是多余的呢?(这相当于一道条件过剩、结论发散的开放题)当然,一开始我们并不清楚,但是目标意识驱使我们去考虑角的关系,因为课本中两条直线平行的判定均与角有关,而已知条件又给出了等角.所以,我们的思考逐渐集中到:从图形中找同位角(或内错角),找相等的角,找相等的同位角(或内错角).
这时,伴随着问题的需要,图1被分解出一系列的部分图形(图2中实线图),并凸现在我们的眼前:
(1)有与
(2)有与
(3)与
(4)与
……
于是,对图1的感知,出现了图3的右方图形.
我们认为,从图1的8个角中找出
3.展开数学想象
对具体形象的感知和判别,使我们看到
从而产生新的表象
于是,在数量关系
将它们组成和谐的逻辑结构,便得出证明.
4.给出逻辑证明
证明1:
证明2:
证明3:
这些证明是抽象思维的过程,表达得干净、简洁而严密.而获得这些结果的过程却是历经“表象—直感—想象”的形象思维过程,在得出
5.反思解题过程
上述解题的过程,把“题”作为考察的对象,把“解”作为研究的目标.我们推崇“解题分析”,是希望解题研究不要停留在这一阶段上,继续把上述解题活动(包括问题和解)作为研究对象,探究解题规律,学会怎样解题(基本任务),具体研究的方法是分析解题过程.
事实上,给出的证明也是一个思维过程,也需要我们去暴露,并且这种暴露比前一阶段的暴露有更高的层次、需要更强的自觉性,是培养思维深刻性与批判性的极好途径.我们一再说过,解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还.而把这一阶段停留在检验、回顾、寻找一题多解、作出若干推广的常识层面上,则是一种损失与浪费.让我们对证明1的书写作出具体结构的分析.
(1)首先,我们将证明1分解为三个步骤.
第1步:从图形中看出
第2步:把另一已知条件用上,将两个等式
第3步:从图形中看出
示意为:
(2)其次,根据上面的整体分解,可将证明1的书写加以充实:
(3)由于这个图形已经显示出,解题中用到了哪些知识(或方法),先用哪些后用哪些,哪个与哪个作了配合.所以,只须将其再作充实(图7),便可更自觉、也更直观地看到,解题过程是这样一个“三位一体”的工作:有用捕捉、有关提取、有效组合:
1)从理解题意中捕捉有用的信息.
包括从题目的叙述及题目的附图两方面去充分理解题意.从图7可见,这共有3条信息.
(a)从题目的文字叙述中获取“符号信息”.
(b)从题目的图形中获取“形象信息”.
2)从记忆储存中提取有关的信息.
这是一批被解题需要激活的知识,并随着解题的进展而扩散,从图7可见,这有3条信息.
(a)对顶角相等. ④
(b)等于第三个量的两个量相等(传递性). ⑤
(c)同位角相等,则两直线平行. ⑥
3)把这两方面的信息(共6条)进行有效的组合,使之成为一个和谐的逻辑结构(共有3步推理).
这样,通过分析解题过程我们看清了,这个题目在解决过程中的知识结构与逻辑关系,进一步还归纳出“什么叫解题”的一个可操作回答:从理解题意中捕捉有用的信息,从记忆储存中提取有关的信息,并将这两组信息组成一个和谐的逻辑结构.
6 展开动态想象
也许我们一开始就直感到图形表象有一种对称结构(对称美的召唤),它朦朦胧胧只是因为对称中心没有显化.也许是在解题分析中,由于已证明了
于是,我们有这样的直感,图8中若
设
以上例示,经历了“表象—直感—想象—论证—反思—……”的思维过程,前半部分主要是形象思维,后半部分主要是逻辑思维,在叙述中强调了把解题活动作为对象的再认识.不妥之处,盼批评指正.
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