立体图形上的最短路线问题

例1. 如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？

分析：解这类题应将立体图形展开化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算。

解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）。将四棱柱剪开铺平，使矩形AA’B’B与BB’C’C相连，连接AC’，使E点在AC’上。（如图2）

。

所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为

。

评注：这道题的计算并不难，难点是如何正确画出展开图。画展开图的要点是使ABB'A'与BCC'B'相连接并成为一个完整的矩形。这样展开的依据是“沿棱柱侧面”。这类题是中考的一个热点。

要特别注意，这种把空间转化为平面的转化方法是处理这类问题的基本方法。我们还可以把棱柱变为圆柱、圆锥等，解题思路都是一样的。

例2. 如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度。

解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S，F各自所在的母线为矩形的一组对边，上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边。该矩形上的线段SF即为所求的最短路线。

过点S作点F所在母线的垂线，得到

。

。

   

例3. 如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m。（结果不取近似值）

解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n，由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得

，再由AC=BC=6m，可得n=180°。故在展开的平面图形中，

。点C到P的最短距离为

。

例4. 如下图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，顶点

处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙。（盒壁的厚度忽略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点

处静止不动，如上图，在盒子的内部我们先取棱BB₁的中点E₁，再连接AE₁，E₁C₁。昆虫乙如果沿路径A→E₁→C₁爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在上图中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法）

（2）假设昆虫甲从顶点C₁以1cm/s的速度在盒子的内部沿C₁C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2cm/s的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1s）

分析：（1）可能的路径共有四种，如下图。每条路径的展开图都是相同长方形对角线的长，因此四条路径的长相等，都是最短路径。

（2）由（1）可知，当昆虫甲从顶点C₁沿棱C₁C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以有下列四种路径供选择。

观察下图可以看出，下图（1）与下图（2）中的路径长相等，下图（3）与下图（4）中的路径长相等。

①如下图（1），设经x s乙恰好捕捉到甲。

在

中，

，即

。

解得

（负数不合题意，舍去）。

②如下图（3），设昆虫乙经y s恰好捕捉到甲。

在

中，

。

解上述方程得

。

所以昆虫乙捕捉到昆虫甲至少需要8s。

                           （1）                                                      （2）

（3）                                                                                                     （4）