例1. 如下图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是多少?
分析:解这类题应将立体图形展开化为平面图形,把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离,利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算。
解:如图1,设蚂蚁爬行的路径是AEC’(在面ADD’A’上爬行是一样的)。将四棱柱剪开铺平,使矩形AA’B’B与BB’C’C相连,连接AC’,使E点在AC’上。(如图2)
所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为
评注:这道题的计算并不难,难点是如何正确画出展开图。画展开图的要点是使ABB'A'与BCC'B'相连接并成为一个完整的矩形。这样展开的依据是“沿棱柱侧面”。这类题是中考的一个热点。
要特别注意,这种把空间转化为平面的转化方法是处理这类问题的基本方法。我们还可以把棱柱变为圆柱、圆锥等,解题思路都是一样的。
例2. 如下图所示,圆柱形玻璃容器高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇,试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度。
解:如下图所示,把圆柱的半侧面展开成矩形,点S,F各自所在的母线为矩形的一组对边,上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边。该矩形上的线段SF即为所求的最短路线。
过点S作点F所在母线的垂线,得到
例3. 如下图,有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为6m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是__________m。(结果不取近似值)
解:作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图,设该扇形的圆心角度数为n,由展开扇形圆弧长等于底面圆周长,可得
例4. 如下图,一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm,顶点
(1)假设昆虫甲在顶点
(2)假设昆虫甲从顶点C1以1cm/s的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行,同时昆虫乙从顶点A以2cm/s的速度在盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲?(精确到1s)
分析:(1)可能的路径共有四种,如下图。每条路径的展开图都是相同长方形对角线的长,因此四条路径的长相等,都是最短路径。
(2)由(1)可知,当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时,昆虫乙可以有下列四种路径供选择。
观察下图可以看出,下图(1)与下图(2)中的路径长相等,下图(3)与下图(4)中的路径长相等。
①如下图(1),设经x s乙恰好捕捉到甲。
在
解得
②如下图(3),设昆虫乙经y s恰好捕捉到甲。
在
解上述方程得
所以昆虫乙捕捉到昆虫甲至少需要8s。
(1) (2)
(3) (4)
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