旋转变换 如果平面到其自身的一个映射,使得定点O保持不动,并且,对于任一点P 映射到P┡点,有OP=OP┡,∠POP┡=θ(0°≤θ≤180°),且从射线 OP到OP┡的方向与给定方向相同,这个映射叫做绕中心O,按已知方向旋转θ的旋转变换。O点叫做旋转中心,θ叫做旋转角(图3)。
旋转变换下各对应直线所成的角不变,都等于其旋转角。一个图形经过旋转变换,得到与它正常全等的图形。
旋转角为180°的旋转变换叫做中心反射。(图4)中图形F和F┡是关于O点中心反射,O点叫做反射中心,此时,图形F和F┡正常全等。
如果在某个中心反射下,一个图形的像与它自身重合,那么这个图形叫做中心对称图形或中心反射图形。如平行四边形是关于对角线中点对称的中心对称图形(图5之a)。圆(图5之b)、椭圆(图5之c)、双曲线(图5之d)都是中心对称图形。
空间旋转变换有绕轴的旋转,它是空间到其自身的映射,且满足下述条件:①点P的像P┡与P同在与给定轴线S垂直的平面M内,②点P和P┡到轴线S的距离相等,即PP0=P┡P0。P0是平面M与轴线S的交点,③∠PP0P┡为定角θ(图6)。
这个映射叫做绕轴S旋转定角θ的空间旋转变换。由PP0到P┡P0的旋转方向规定为:如果θ>0就表示用右手握拳,拇指指向轴上正方向;如果θ<0,旋转与此反向。
空间旋转还有空间中心反射。每个点,对于中心O都有它的像与之对应。空间中心反射变换把一个图形变为与它反常全等的图形(图7 )。
关于某定点的中心反射空间图形,常见的有平行六面体,它是关于对角线交点为反射中心的中心反射图形(图8)。
反射变换 有直线反射变换和平面反射变换。
直线反射变换是从P点向直线g引垂线,垂足为O,延长PO到P┡,使OP┡=PO,把P┡点称为P点关于直线 g反射的像,直线g叫做反射轴(图9)。一个从平面到它自身的映射,如果把平面内的每一点映射到它关于直线g的反射的像,这个映射称为以直线g为反射轴的直线反射变换或直线对称变换。显然,反射轴是各对应点所连线段的中垂线,反射轴上任一点到各对应点的距离相等。
关于直线反射的两个图形,是互为反常全等的图形(图10)。
如果沿着一条直线把两个图形对折后能够互相重合,这两个图形叫做以这条直线为对称轴的互为对称的图形。如果一个图形被一条直线分成的两个部分关于此直线互为对称,此图形称为轴对称图形。如等腰三角形是关于底边上的高为对称轴的轴对称图形。矩形、菱形、等腰梯形等都是轴对称图形。
对于空间图形,如果一个图形关于直线g反射变换到它自身,就说这个图形是关于轴g的空间反射图形。显然,一个图形绕这个轴旋转180°后,就与它自身重合。如果一个图形借助于某平面反射变换到它自身,这个图形叫做关于这个平面的反射对称图形。例如直圆柱是以所有含轴的平面为对称面的对称图形,球是以一切通过中心的平面为对称面的对称图形(图11)。
直线反射与平移、旋转有密切的联系,有如下的定理:在平面(空间)内,对于直线(平面)的两次反射的积,如果①两反射轴(平面)重合,则为恒等变换;②两反射轴(平面)平行,则为平移变换;③两反射轴(平面)相交,则为旋转变换。
平面内每个全等变换都可以看作是不多于三次直线反射的积,每个异于恒等变换的正常全等变换都可以看作是两次直线反射的积;任意给出两个反常全等图形,可以施行一次或接连施行三次反射,使此形变成彼形。
相似变换 平面(空间)到其自身的一个映射,如果对于任意两点A、B及其像A┡、B┡有A┡B┡=kAB(k>0),把这个映射叫做平面(空间)的相似变换。当k=1时,相似变换就是全等变换。
平面内有两种相似变换,第一种叫做真正相似变换(正相似变换),第二种叫做镜像相似变换(负相似变换)。真正相似变换把一个图形变换成与它真正相似(正相似)的图形,即使得两个相似图形的每对对应三角形有同一的方向,每对对应角有同一方向(图12之a)。
镜像相似变换把一个图形变换成与它镜像相似的(负相似)图形。即使得两个相似图形的每对对应三角形有相反的方向,每对对应角有相反的方向(图12之b)。
类似地,空间真正相似变换,把一个空间图形变换成与它真正相似的图形,即使得两个空间相似图形的每两个对应四面体同向,对应三面角也同向。镜像相似变换,把一个空间图形变换成与它镜像相似的图形,即使得两个空间相似图形的对应四面体反向,对应三面角也反向。
相似变换保持两直线所成角的大小不变,并且不改变图形的形状而改变其大小,两个相似的平面图形,其面积之比等于它们的相似比的平方;两个相似的空间图形,其体积之比等于它们的相似比的立方。
平面(空间)的全体相似变换组成一个群,称为相似变换群。
相似变换的特殊情形是位似变换。
位似变换 对于平面到其自身的一个映射,如果存在定点S及常数k(k≠0)。使得对于任意点M及其像M┡,满足:①S,M,M┡三点共线;②SM┡=│k│SM,则这种映射称为以S为位似中心,k为位似比的位似变换。当k>0时,对应的两点在位似中心的同侧,称为顺位似(图13之a),S称为外位似中心;当k<0 时,对应的两点在位似中心的异侧,称为逆位似(图13之b),S称为内位似中心,当丨k丨>1。原图形被放大;当丨k丨<1,原图形被缩小。特别地,当k=-1的位似变换,可看作是以S为中心,旋转角为180°的旋转变换。
在位似变换下,任何一条直线变为与它平行的直线(图14),直线AB经位似变换得到A┡B┡,则A┡B┡∥AB。
任意两个不等的圆,都可看作是位似图形,两圆心是对应点。如图15
,圆O的半径为R,圆O┡的半径为r。S 和S┡分别以定比R/r外、内分线段OO┡。圆O 和圆O┡分别关于S 和S┡位似,它们的位似比为R/r。
类似地,任意两个不等的球也可以看作是位似图形,并且有两种方法使它们位似。
反演变换 在平面内设有一半径为R,中心为O的圆,对任一异于O点的P点,将其变换成该射线OP上一点P┡,且使OP┡·OP=R2,这个变换叫做平面反演变换。圆O叫做反演基圆,圆心O 叫做反演中心或反演极,R 叫做反演半径或反演幂(图16)。
从定义可知,反演变换将过反演中心的射线变成自身,且在此射线上建立对合对应,它使位于圆内的点变成圆外的点,位于圆外的点变成圆内的点,反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。
空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下,将不过反演中心的直线或平面,分别变成过反演中心的圆或球面;将不过反演中心的圆或球面,分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之也成立。
反演变换是反向保角的,即使两线(或两面)所成的角度的大小保持不变,但方向相反。
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