美国数学家发现新五边形可无缝密铺平面

导读

好玩的数学

近日，美国华盛顿大学研究团队发现了一种完美五边形，相互组合后可完全铺满平面，是全球第15种能做到此效果的五边形。

平面密铺不再是正三角形，正方形，正6边形的特权了，完美五边形的出现也宣告了多边形单密铺问题的解决。在漫漫探索之路，多位数学家都贡献了自己的研究成果。

背景

历史

1900年，Hilbert在巴黎数学家大会上提出了“希尔伯特23个问题”，第18个问题就是“如何用全等多面体构造空间”。1928年，莱茵哈特提出了Smoothed octagon，发现了前5种不同的五边形密铺方式，开启了一个新的研究方向。在经历过毫无发现的50年 ，Kershner曾发表过一篇文献，使五边形平面密铺方式数上升为8。到后来，一个默默无闻的研究者也贡献了一个新的平面密铺方式。然而，在1975-1977年，也许你难以相信，但的确是一个50多岁的家庭主妇，Marjorie Rice在这个问题上发现了4种新的五边形密铺方式。到了1985年，Rolf Stein通过结构基元跟方程的方式得到了21世纪前最后一次新的密铺方式。

迄今发现的15种可镶嵌五边形

基本

内容

在数学中，如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面。显然，任意一种三角形以及任意一种四边形都可以镶嵌平面。不过，当考虑到五边形，事情就变得有趣起来。正五边形是无法镶嵌平面的，但一些特殊的不规则五边形却可以。

发现

时隔30年之后，美国华盛顿大学研究团队，该团队发现了一种新的不规则五边形。它的五个内角角度分别为60度、90度、105度、135度和150度，这样的五边形可以跟其他一模一样的五边形拼合起来，不会出现重迭或任何空隙。卡西·曼夫妇通过运用学生冯德劳设计的计算机程序打破了打破了当前的僵局，找出完美镶嵌的五边形，也是全球第15种能做到此效果的五边形。此次发现相当于在数学领域中寻获了新原子粒子，有助人们彻底理解不同形状如何密铺平面。

卡西·曼夫妇发现的新五边形

可密铺的新五边形

图中所有的五边形都是全等的，共有三种颜色，表明它们以每三个组成一组方式镶嵌满了整个平面。

意义

这是第15种可以实现无缝拼接的凸五边形，距离上一发现已有30年。在数学界，发现这种不规则五边形，无异于发现一种新型粒子。五边形镶嵌的潜在应用价值也给对它进行的研究注入了一些活力。在自然界看到的很多结构——从水晶到病毒——都是由一些小的基本单元构成的，这些基本单元被几何学与力学支配着，从而统一起来形成一个大的结构。