【最花心】三角形的五千余颗心

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说起三角形，你肯定知道三角形的外心、重心、垂心、内心、旁心。

俗称三角形的五心，虐过无数初高中生。

小知识：三角形的五心，点击查看

重心：三角形三条中线的交点；

垂心：三角形三条高的交点；

外心：三角形三条垂直平分线的交点，也叫外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等；

内心：三角形三条角平分线的交点，也叫内切圆的圆心，内心到三角形三条边的距离相等；

旁心：三角形一条内角平分和两条外角平分线的交点，旁心到三角形三边所在直线距离相等，三角形的旁心共三个。

但事实上……这只是冰山一角，真心一角。

三角形的心（Triangle center）指平面上一系列的点，在一定程度上它们类似正方形或者圆的中心，都是三角形的中心。这系列的点有多少个呢，目前是5389个，虽然很多但也不是什么点都可以，这个我们后面说……

要说三角形的心，就要从2000年前古希腊的一个夜晚说起。那里的数学家们抬头看星星累了时，低头画了个三角形，一不小心就发现了一些经典的三角形的心，例如开头提到的五心。当然他们并没有定义三角形的心到底是什么，也没有规定什么样的点可以被称作三角形的心。在他们之后，一些三角形的心又陆续被发现，例如费马点、第一等角点、格高尼点、 威毕特点、Gergonne point、Feuerbach point等等。到了20世纪80年代，人们对三角几何的兴趣复燃，注意到这些点有一些相同的性质。在此基础上，对三角形的心做了明确的定义。2012年10月，一位叫做Clark Kimberling的数学家发布了一个由他编制的在线的三角形的心在线百科全书，上面收录了5389个点。给这些点一一起名字也挺费事，所以他们被编号为X（1）、X（2）……到这里三角形的心前生今世差不多就讲完了。感兴趣的同学可以去看看这个百科。

这是文字版：

http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

这是互动版（可以动哦）：

http://www.uff.br/trianglecenters/etcwc.html

问题是——到底三角形的心定义是什么？什么样的点才是三角形的心？

其实观察五心可以发现，他们有一个共同特点，就是在三角形做几何变换时（相似变换、旋转、反射）的不动点（相对于三个顶点而言）。实际上这也就正是三角形的心要满足的条件。

当然它的正式定义是用函数来定义的。我粗略地翻译了一下维基百科给出的定义（如果有误烦请指出）：

设一个有三个变量a、b、c的实值函数f 满足一下条件：

1. 对于某些常数n有： f(ta,tb,tc) = t^n f(a,b,c) （t>0）

2. 双向对称性： f(a,b,c) = f(a,c,b)

满足上述条件的非零函数f就被称为三角形中心函数，如果f中的a、b、c满足构成一个三角形的条件，那么具有如下 三重线性坐标（trilinear coordinates，即点到三角形三边的距离） 的点就被称为三角形的心：