简说常微分方程

本文作者：郑英元

本文来源：《数学教学》

随着微积分的创立，常微分方程问题也就出现了。实际上，牛顿(Newton，1642-1727，图见本刊2009年第6期)第二定律的数学模型就是一个二阶常微分方程式。

到1740年左右，人们已经知道了几乎所有求解一阶方程式的初等解法。1728年，瑞士人欧拉(Euler， 1707-1783，图1是1957年瑞士纪念欧拉诞生250周年发行的邮票)给出指数代换法， 将二阶常微分方程化为一阶方程来求解。从而开始了对二阶常微分方程的系统研究。

1743年，欧拉又给出了高阶常系数线性齐次方程的完整解法，这是对高阶常微分方程的重要突破。 1774-1775年间，法国的拉格朗日(Lagrange，1736-1813，图2是1958年应用法国为拉格朗日逝世145周年发行的纪念邮票所制作的极限明信片)提出了用常数变易法求解一般高阶变系数非齐次常微分方程。

图 1：瑞士(1957)

图 2：法国极限片(1958)

图 3：法国(1989)

19世纪，法国的柯西(Cauchy，1789-1857，图3是1989年法国纪念柯西诞生200周年发行的邮票)相继开展对常微分方程解的存在性理论问题和与奇点问题相联系的解析理论研究。 随着法国的庞加莱(Jules Henri Poincaré，1854-1912，图4是1952年法国纪念庞加莱逝世40周年发行的邮票)和克莱因(Felix Klein，1849-1925)关于自守函数理论的研究使常微分方程解析理论的研究达到高峰。

同时庞加莱还开创了对常微分方程定性理论的研究。庞加莱关于在奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究，为当今动力系统理论奠定了坚实的基础， 且在1892年以后被俄国的李雅普诺夫(Александр Михайлович Ляпунов，1857-1918，图5是1957年前苏联纪念李雅普诺夫诞生100周年发行的邮票)发展到一般高维情形而形成专门的“运动稳定性理论”分支。 李亚普诺夫的工作使微分方程的发展出现了一个全新的局面。

1937年，俄国的庞特里亚金(Лев Семёнович Понтрягин，1908-1988)提出结构稳定性概念，要求系统在微小扰动下保持其稳定性不变。 此外，前苏联科学院院长克尔德什(Мстислав Всеволодович Келдыш，1911-1978，图6、7是1981年前苏联纪念克尔德什诞生70周年发行的邮品)对常微分方程边值问题的研究也多有贡献。

图 4：法国(1952)

图 5：前苏联(1957)

图 6：前苏联(1981)

图 7：前苏联加印科学家的普通邮资封(1981)