分形是当今非线性数学科学的重要组成部分之一。它是在20世纪70年代，由法国数学家波努瓦·芒德勃罗教授提出的。
如何计算相似的维数？
设分形F是自相似的，即F由m个子集构成，每个子集放大c倍后同F一样，则定义F的维数为
d(F)=log（m）/log（c）
例如，对于Cantor集 d(F)=log2/log3，对于柯赫雪花曲线 d(F)=log4/log3
对于一条直线段，将它等分，每段长度为原来的1/N，共分为N段。将一个正方形每边等分成N段，共有N2 个小正方形。将一个立方体每边等分成N段，共有N3个小立方体。
一般地，设一图形可分解为m个与之相似的子图形，每个子图形是原来的1/c，则图形的维数D满足：cD=m。
雪花晶体也被称作分形雪花。我们可以用柯赫雪花曲线来模拟：一个等边三角形，经过不断的划分，形成更多的细节。每一部分和整体都很相似。随着划分，边长会逐渐趋向于无穷大，而面积的增加却接近为零。分形是从某一个对象开始，重复应用某个规则，然后连续不断地改变直到无穷。这种无穷与有限的矛盾，在运动过程中，看到的更形象。柯赫雪花曲线分数维数 D=log4/log3=1.2618
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当年曼德尔布罗特教授就是在研究英国的海岸线长度时发现了这个问题。当我们分别用公里和厘米为单位去测量海岸线时，会发现，单位越小，海岸线展现的细节越多，长度也就越趋向于无限长。沿着这种思想，人们发现很多东西都具有分形的特征，因此把分形称为自然界的几何学。随着对分形了解逐渐深入，分形的应用也越来越广泛。
分形改变了我们眼中的世界。不得不承认，我们对自然的理解，常会因为一些突发奇想，而产生始料不及的变化。自然的奇妙，不在于惊人的发现被揭示，而在于，我们从它的复杂多变，看到了自然界基本规律的简单和纯粹。数学比我们大多数人想象的都要生机勃勃和令人激动。
| 分形图形是分形艺术中很主要的一个部分。在计算机上我们利用某个算式反复的计算，若干次之后就得到很有名的图形——曼德尔布罗特集合。放大细节可以清楚地看到，整体与局部相似性。当然我们还可以任意设定算式，从而画出各种各样的图形。这样一来，富于逻辑和理性的数学算式也变得触手可及。 |
让我们随着分形图形的无穷变化，一起来感受分形音乐的特殊气质吧。它也是利用了分形自相似的特性。
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热衷者常常说：曼德尔布罗特集是最复杂的数学对象，即使用无限的时间也不足以观察它的全貌。那饰以多姿多彩荆棘的圆盘，那弯曲缠绕的螺线和细丝，那挂着微细颗粒的鳞茎，那无穷尽的斑驳的色彩，那好像是上帝葡萄藤上的累累果实。曼德尔布罗特集显示了分形之美，它成为了分形、混沌的一种国际标志。
曼德尔布罗特集是在非线性分形领域一个最知名的贡献。这种集是由比较简单的方程式做迭代而形成的。它显示出异乎寻常的图形，十分错综复杂。有人称之为非线性分形几何肖像。曼德布罗特集并不仅仅产生美丽的图像。如果我们非常仔细地检验大量的图像就会发现，无数的实验观测结果能够以数学推测的形式重现。它们当中的许多已经形成颇具光彩的定理和证明。它也鼓励数学采用新方法 ，利用计算机来模拟现实，在算法方面的深入研究与改进产生更多的新实例与艺术作品。
分形艺术欣赏把计算机产生的图形看成是艺术，有人可能要提出一些疑问。这些图形可以利用高品质的打印机产生任意多幅同样质量的'原作'，从而在商业化的艺术市场上造成混乱，因此她没有收藏价值，没有收藏价值的作品还能算得上是艺术吗？这是一个十分敏感的问题。
争论最多的问题是：分形图形是纯数学产物能算得上艺术吗？既然学习数学和程序设计就可以从事艺术创作了，学习美术专业还有什么用处呢？ 这个问题提的好。从事分形艺术创作的人要研究产生这些图形的数学算法，这些算法产生的图形是无限的。他们没有结束，你永远不能看见它的全部。你不断放大她们的局部，也许你可能正在发现前人没曾见到过的图案。这些图案可能是非常精彩的。她们与现实世界相符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节，是完全可以用数学结构来描述的。
另一个的问题是颜色，好的颜色选择，就可以得到一幅奇妙的图形。糟糕的选择，你得到的就是垃圾。所以说，创造分形艺术，最好再学一点绘画基础、色彩学等，那将是大有益处。 分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域显示出非凡的作用。创作精美的分形艺术是国内外分形艺术家们的人生追求，总有一天分形艺术会登上大雅艺术殿堂。
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