如图,直线l:y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C与原点O关于直线l对称.反比例函数y=frac{k}{x}的图象经过点C,点P在反比例函数图象上且位于C点左侧,过点P作
(2013·莆田)如图,直线l:y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C与原点O关于直线l对称.反比例函数y=
的图象经过点C,点P在反比例函数图象上且位于C点左侧,过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求AN·BM的值.
分析:(1)连接AC,BC,由题意得:四边形AOBC为正方形,对于一次函数解析式,分别令x与y为0求出对于y与x的值,确定出OA与OB的值,进而C的坐标,代入反比例解析式求出k的值,即可确定出反比例解析式;
(2)过M作ME⊥y轴,作ND⊥x轴,根据P在反比例解析式上,设出P坐标得出ND的长,根据三角形AND为等腰直角三角形表示出AN与BM的长,即可求出所求式子的值.
解答:解:(1)连接AC,BC,
∵y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C与原点O关于直线l对称.
∴OA=OB=1,
∴OC与AB互相平分,且垂直,相等,
∴四边形AOBC为正方形,
对于一次函数y=x+1,令x=0,求得:y=1;令y=0,求得:x=-1,
∴OA=OB=1,
∴C(-1,1),
将C(-1,1)代入y=
得:1=
,即k=-1,
则反比例函数解析式为y=-
;
(2)过M作ME⊥y轴,作ND⊥x轴,
设P(a,-
),可得ND=-
,ME=|a|=-a,
∵△AND和△BME为等腰直角三角形,
∴AN=
×(-
)=-
,BM=-
a,
则AN·BM=-
·(-
a)=2.
点评:此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,坐标与图形性质,以及等腰直角三角形的性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
(2013·莆田)如图,直线l:y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C与原点O关于直线l对称.反比例函数y=
的图象经过点C,点P在反比例函数图象上且位于C点左侧,过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求AN·BM的值.
分析:(1)连接AC,BC,由题意得:四边形AOBC为正方形,对于一次函数解析式,分别令x与y为0求出对于y与x的值,确定出OA与OB的值,进而C的坐标,代入反比例解析式求出k的值,即可确定出反比例解析式;
(2)过M作ME⊥y轴,作ND⊥x轴,根据P在反比例解析式上,设出P坐标得出ND的长,根据三角形AND为等腰直角三角形表示出AN与BM的长,即可求出所求式子的值.
解答:解:(1)连接AC,BC,
∵y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C与原点O关于直线l对称.
∴OA=OB=1,
∴OC与AB互相平分,且垂直,相等,
∴四边形AOBC为正方形,
对于一次函数y=x+1,令x=0,求得:y=1;令y=0,求得:x=-1,
∴OA=OB=1,
∴C(-1,1),
将C(-1,1)代入y=
得:1=
,即k=-1,
则反比例函数解析式为y=-
;
(2)过M作ME⊥y轴,作ND⊥x轴,
设P(a,-
),可得ND=-
,ME=|a|=-a,
∵△AND和△BME为等腰直角三角形,
∴AN=
×(-
)=-
,BM=-
a,
则AN·BM=-
·(-
a)=2.
点评:此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,坐标与图形性质,以及等腰直角三角形的性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
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