四、计算题
1. 一个垄断者在一个工厂中生产产品而在两个市场上销售，他的成本曲线和两个市场的需求曲线方程分别为：TC=（Q1+Q2）2+10（Q1+Q2）；Q1=32-0.4P1；Q2=18-0.1P2 （TC：总成本，Q1，Q2：在市场1，2的销售量，P1，P2：试场1，2的价格），求：
（1）厂商可以在两市场之间实行差别价格，计算在利润最大化水平上每个试场上的价格，销售量，以及他所获得的总利润量R。
答案：Q1=8, Q2=7, P1=60, P2=110,利润为875。
（2）如果禁止差别价格，即厂商必须在两市场上以相同价格销售。计算在利润最大化水平上每个市场上的价格，销售量，以及他所获得的总利润R。 答案：P=70, Q1=4, Q2=11, 利润为675
2.某垄断厂商在两个市场上出售其产品，两个市场的需求曲线分别为：市场1：q1?a1?b1p1；市场2：q2?a2?b2p2。这里的q1和q2分别是两个市场上的销售量，p1和p2分别是两个市场上索要的价格。该垄断企业的边际成本为零。注意，尽管垄断厂商可以在两个市场上制定不同的价格，但在同一市场上只能以同一价格出售产品。
（1） 参数a1 、b1 、a2 、b2在什么条件下，该垄断厂商将不选择价格歧视？ 答案：a1
b1?a2b2
bi（2） 现在假定市场需求函数为qi?Aipi（i=1,2），同时假定该
垄断厂商的边际成本MC?0且不变。那么，在什么条件下该垄断厂商的最优选择不是价格歧视？
答案：b1?b2
3. 某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000-5000P，供给函数为Q=40000+2500P，求解下列问题：
（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？
由均衡条件知：70000－5000P=40000＋2500P
解得：P=4，Q=50000
均衡价格与长期平均成本的最低点相等，故处于长期均衡。
答案：4元，处于长期均衡。
（2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？
n=50000/500=100
答案：100家
（3）如果市场需求变化为Q=100000-5000P，求行业与厂商新的短期均衡价格与产量，在新的均衡点，厂商盈利还是亏损？
由均衡条件知：100000－5000P=40000＋2500P
得均衡价格P=8元，Q=60000
每个厂商q=60000/100=600
此时厂商的短期平均成本为4.5元，所以厂商盈利（8>4.5）。
答案：8元，产量为600单位，盈利。
4.某消费者的效用函数有U=XY4，他会把收入的多少用于商品Y上？
假设商品X的价格为Px，商品Y的价格为Py，收入为M。
由U=xy4得：?U
x?y4，?U
y
3?4xy。他对x和y的最佳购买的条件是，3
MUx/Px=MUy/Py即为：
变形得，Px·x?
把Px·x?
1
414y4Px?4xyPy 14Py·y Py·y代入预算方程Px·x+Py·y=M Py·y?Py·y?M
4
5M Py·y? 4
5这就是说，他收入中有用于购买商品Y。
答案：4/5的收入
5.已知某垄断者的成本函数为TC=0.5Q2+10Q产品的需求函数为P=90-0.5Q，计算利润为极大的产量，利润和价格。
TC=0.5Q2+10Q，
对TC求导，得MC=Q+10;
AR=P=90-0.5Q,则TR=AR*Q=90Q-0.5Q2
对TR求导，得MR=90-Q;
令MC=MR，得Q=40,
进而P=70，L=1600
答案：产量为40，价格为70，利润为1600
6.已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数LTC(Q)= Q3-8Q2＋30Q
（1）求该行业长期均衡时的价格和单个厂商的产量。
LAC（Q）=LTC(Q)/Q= (Q3-8Q2＋30Q)/Q = Q2-8Q＋30 令dLAC(Q)
dQ?0，即有：
dLAC(Q)
dQ
22Q-8=0Q=4 ?2Q?12，解得?0
且dLAC(Q)
dQ2?2>0
解得Q=4,所以Q=4是长期平均成本最小化的解。
以Q=4代入LAC（Q），得平均成本的最小值为：LAC=42-8×4+30=14
由于完全竞争行业长期均衡时的价格等于厂商的最小的长期平均成本，所以，该行业长期均衡时的价格P=14，单个厂商的产量Q=4。
（2）求市场的需求函数为Qd=870－5P时，行业长期均衡时的厂商数目。
由于完全竞争的成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线，且相应的市场长期均衡价格是固定的，它等于单个厂商的最低的长期平均成本，所以，市场的长期均衡价格固定为P=14。以P=14代入市场需求函数Q=870-5P，便可以得到市场的长期均衡数量为Q=870-5×14=800。现已求得在市场实现长期均衡时，市场均衡数量Q=800，单个厂商的均衡产量Q=4，于是，行业长期均衡时的厂商数量=800÷4=200（家）。
7. 两个捕鱼企业的成本函数为：C(qi)?Qqi(i?1,2)，其中Q?q1?q2。已知市场上鱼的价格恒定为P。求：
（1）当实现纳什均衡时，两家企业的捕鱼量和利润；
答案：捕鱼量均为P/3；利润均为P2/9。
（2）若两家企业合并成一家，那么捕鱼量和利润又是多少？
答案：捕鱼总理为P/2；利润总量为P2/4。
8.一个垄断厂商拥有两个工厂，两工厂的成本函数分别为：工厂1，TC?5?9Q1?Q12；工厂2，TC?4?10Q2?0.5Q22；市场的需求曲线为P?31?Q,
求总产量、产品价格以及各个工厂的生产数量。
答案：总产量为8，价格为23，Q1=3，Q2=5。
9.厂商的生产函数为Q?24LK
求厂商的长期成本函数。
因为Q=24L1/3K2/3，所以MPL=8L-2/3K2/3，MPK=16L1/3K-1/3
带入生产者均衡条件MPL/ PL= MPk/ Pk ，得L=K
C=4L+8K=12L
Q=24L1/3K2/3=24L，L=1/24 Q
C=12L=1/2 Q 长期成本函数为C?1
2Q2r?8。 ，生产要素L和K的价格分别为??4，
10.已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为C=0.1Q3－2Q2＋15Q＋10 。试求：
（1）当市场上产品的价格为P=55时，厂商的短期均衡产量和利润。
因为STC=0.1Q3-2Q2+15Q+10
所以SMC=dSTC
dQ=0.3Q3-4Q+15
根据完全竞争厂商实现利润最大化原则P=SMC，且已知P=55，于是有： 0.3Q2-4Q+15=55
整理得：0.3Q2-4Q-40=0
解得利润最大化的产量Q*=20（负值舍去了）
以Q*=20代入利润等式有：
=TR-STC=PQ-STC
=（55×20）-（0.1×203-2×202+15×20+10）
=1100-310=790
即厂商短期均衡的产量Q*=20，利润л=790
答案：产量为20，利润为790。
（2）当市场价格下降为多少时，厂商必须停止生产？
当市场价格下降为P小于平均可变成本AVC即P?AVC时，厂商必须停产。而此时的价格P必定小于最小的可变平均成本AVC。
根据题意，有：
AVC=TVC
Q?0.1Q?2Q?15Q
Q32=0.1Q2-2Q+15
令dAVCdQ?0,即有：dAVC
dQ?0.2Q?2?0
解得 Q=10 且dAVC
dQ22?0.2?0
故Q=10时，AVC（Q）达最小值。
以Q=10代入AVC（Q）有：
最小的可变平均成本AVC=0.1×102-2×10+15=5
于是，当市场价格P5时，厂商必须停产。
答案：下降到5元；
（3）厂商的短期供给函数。
根据完全厂商短期实现利润最大化原则P=SMC，有：0.3Q-4Q+15=p
整理得 0.3Q2-4Q+（15-P）=0 解得Q?4??1.2(15?P)
0.62
根据利润最大化的二阶条件MR??MC?的要求，取解为： Q=4?.2P?2
0.6
才生产，而P＜5时必定会停产，所以，考虑到该厂商在短期只有在P?5
该厂商的短期供给函数Q=f（P）为： Q=4?.2P?2
0.6，P?5
Q=0 P＜5
答案：当P<5时，无供给；
答案：当P≥5时，Q=0.5+ [答案中有根号]
11.在偏远小镇上，某企业是当地劳动力的唯一雇主。该企业对劳动力的需求函数为W=12-2L，劳动的供应函数为W=2L。
（1） 该企业的边际劳动成本是多少？
劳动供应的总成本=2L2，边际成本=4L
答案：边际成本为4L。
（2） 该企业将雇佣多少劳动？工资率是多少？
4L=12-2L，L=2，W=2L=4
答案：雇用2个；工资率为4；
12.假设某企业为其产品和要素市场上的完全垄断者，其生产函数为Q=2L，其中L为生产中使用的劳动力数量。若该企业的需求函数为Q=110-P，劳动的供给函数为L=0.5W-20。求生产者的产量为多少？在此产量下，劳动使用量L，商品价格P和工资W各为多少？
答案：Q=30，P=80，L=15，W=70.
13.双寡头垄断企业的成本函数分别为：C1=20Q1，C2=2Q2，市场需求曲线为P=400-2Q，其中Q=Q1+Q2
（1）求出古诺均衡下的产量、价格和利润；
答案：Q1＝80，Q2?30，P?180，?1?12800,?2?3600。
（2）求出斯塔克博格模型下的产量、价格和利润 答案：Q1?2803，Q2?80
3,P?160，?1?39200
3,?2?25600
9。
14.某甲拥有财富100万元，明年他有可25%的可能性会丢失一辆价值36万元的小汽车，假设他的效用函数为U?，W为他的财富。请解答以下问题：
（1）如果他不参加明年的保险，他的期望效用是多少？
EU=25%·（100-36）1/2+75%·1001/2=0.25·8+0.75·10 =9.5
（2）如果他参加保险，他最多愿意支付多少保险费用？
设保险费为R，则（100-R）1/2=9.5
得R=9.75
即最多愿意支付9.75万元的保险费。
15.完全竞争行业中某厂商的成本函数为
计算，假设产品价格为66美元。
（1）求利润极大时的产量及利润总额；
厂商的成本函数为
则2STC?Q?6Q?30Q?4032，成本用美元TC?Q?6Q232?30Q?40 MC?3Q?12Q?30，又知P=66元。
66?3Q?12Q?3022根据利润极大化的条件P=MC，有：
解得：Q=6，Q=－2（舍去）。
最大利润为：
， ??TR?TC?PQ?(Q?6Q?30Q?40)?17632（元）
（2）由于竞争市场供求发生变化，新的均衡价格为30美元，在新的价格水平下，厂商是否会发生亏损？如果会，最小的亏损额是多少？
由于市场供求发生变化，新的价格为P=30元，厂商是否发生亏损要根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。
均衡条件都为P=MC，即30?3Q2?12Q2?30， 则Q=4，或Q=0（舍去）。
此时利润??TR?TC?PQ?(Q3?6Q2?30Q?40)??8
可见，当价格为30元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8元。
（3）该厂商在什么情况下才会退出该行业？
由TC?Q3?6Q2?30Q?40 得：TVC?Q3?6Q2?30Q 有：AVC?
dAVCdQ
TVCQ
Q?6Q?30
2
令?0，即
dAVCdQ
2Q?6?0，
解得：Q=3
当Q=3时AVC?21，可见只要价格P<21，厂商就会停止生产。
16.已知成本函数为C(Q)?Q2?5Q?4，求厂商的供给函数和利润函数. 17.一个企业的生产函数为Q?Q(x1,x2,?xn)，Q为产出，xi为投入的第i种要素的数量。
（1） （2） 来产出
18.假定两个具有相同偏好的人同居一室，他们的效用来自看电视的时间x与所吃的零食量y。效用函数由下式给出
13
2
用数学方法给出该企业处于规模报酬递增的表达； 证明：把该规模报酬递增的企业一分为二，产出之和小于原
ui(x，yi)?xyi3 （i=1, 2）
又假定每个人要花30元，px?10元，py?10元，并且假定两人是一起看电视的（禁止单独收看电视）。问：这两个人该如何配置自己的收入，才符合萨缪尔森规则？
7
19.甲有300单位商品x，乙有200单位y，两人的效用函数都是u(x,y)?xy。请推导出所有满足帕累托有效的配置。两人通过交换达到帕累托有效配置，求出两人进行交换的价格体系，并求出交换结果。
（1）设甲乙两人的消费束为：甲(x1,y1)，乙(x2,y2)， 题设的约束条件为：
x1?x2?300y1?y2?200
①
帕累托有效配置的条件是：甲、乙两人的无差异曲线相切，即 MRSx,y?MRSx
1
1
2
,y2
即
MUx1MUy1
MUx2MUy2
于是我们有：
y1x1
y1x1
=
y2x2
②
23
联立①②得： =
300?y1200?x1
y1?
x1
23
因此，所有满足Pareto最优的状态的契约线为：y1?（2）令x价格为1，y的价格为p， 先求甲的效用最大化条件：
maxU1(x1,y1)?x1y1s.t.
x1?py1?300
x1。
150p
解得： x1?150,y1?再求乙的效用最大化条件：
maxU2(x2,y)?xy2
2s.t.
；
2
x2?py2?200p
解得：x2?100p,y2?100；
由第（1）问中解得的Pareto最优条件：y1?可求得： p?1.5。
此时 x1?150,y1?100 ，x2?
150,y2?100
8
23
x1
也就是说，社会最终的价格体系为：X的价格为1，Y的价格为1.5；交换结果为：甲消费150单位的X，消费100单位的Y；乙也消费150单位的X，消费100单位的Y。
20.某个消费者的效用函数为u(x1,x2)?x12x2，商品1和2的价格分别为p1和p2，此消费者的收入为m。求该消费者的马歇尔需求函数、间接效用函数和支出函数。 解：解线性规划：
其拉格朗日函数为：
使L(?)最大化要求λ，x1，x2 满足一阶条件
1 式除以2 式，得：
代4 入3 式，得1 x 的需求函数：
代5 入4 式，得2 x 的需求函数：
代5、6 两式入效用函数中，得到当效用最大化时有间接效用函数：
又消费者效用最大化意味着 y = e(p,v(p, y)) 即可得到支出函数：
21. 证明：如果一个人拥有的初始财富为W*，他面临一场赌博，赌博的奖金和罚金都为h，
赌博的输赢概率都是50％。若这个人是风险厌恶型的，则他决不会参加赌博。
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风险厌恶型意味着 u ( g ) < u[E ( g )] ，若 g 是题目中的赌局，即
u ( g ) < u[E ( g )] = u (w* )
也就说 w * >g ，他不会参加该赌博．
22、Luke 只喜欢两片奶酪（X）+三片面包（Y）的三明治。
（1）用X、Y 定义这种效用函数，并求Luke 对X、Y 的需求函数。
（2）若价格PX=PY=2，并且Luke 能花在食品的收入为72，求Luke 的最优选择。 （3）若PX 上涨P′X=4，求Luke 最优决策。
（4）X 的变化多少是由于收入效应、多少是由于替代效应的？用图形表示。 （5）求Luke 的支出方程。
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