微积分的历程：从牛顿到勒贝格

跟人类文明的发展史一样，数学史亦是铁宕起伏，充满曲折，本书带领我们欣赏了十三位数学家在创建微积分的历程中的功绩。可以把他们按照建树分为三个独立的历史阶段，或者说，依据他们过于倾注同类问题所冒的风险分成三个独立的学派。 首先出现在我们眼前的是“早期学派”，这一派以其开拓者牛顿、莱布尼茨以及他们的直接继承者伯努利兄弟和欧拉的工作为特征。然后我们来到可以称之为“经典学派”的殿堂，浏览了专为柯西提供的大厅，以及黎曼、刘维尔和魏尔斯特拉斯的展室，这些学者对微积分赋予了特别的数学严格性。最后，我们造访了康托尔、沃尔泰拉、贝尔和勒贝格的“现代学派”，他们把经典学派的精确性同集合论的大胆思想融为一体。 显然，在参观结束时呈现在我们面前的微积分和它开初是不同的。历经数学家们的努力，微积分中的曲线已经变成函数，几何方法已经提升为代数方法，直觉思维已经转化到冷静的逻辑思维。最终发展成一门极端复杂和极具挑战性的学科，这远远超出它的创建者们的预料。 然而，开始时的那些中心思想，依然是结束时的中心思想。在以往两个半世纪的岁月里，数学家们对微积分这门学科作了改进，当我们翻开本书时，就能目睹学者们之间持续不断的交流。从一种非常实际的意义上说，这些创建者们是在解决一些相同的问题，只不过采用日益复杂的方法而已。例如，我们曾见牛顿在1669年把二项式扩展为无穷级数，而柯西于1828年对这样的级数提供收敛判别准则。我们曾见欧拉在1755年推算基本的导数，而贝尔于1899年确定导数的连续性性质。同样，我们曾见莱布尼茨在1691年应用他的变换定理求面积，而勒贝格于1904年建立他的绝妙的积分理论。数学家们的回应之声从一个时代响彻到另一个时代，而且即使事态有了改变，微积分的基本问题依然如故。