运算能力的解读

 

有幸参加了长春举行的《吉林省数学教学大奖赛》，历时两天的时间，在这两天中收获颇多。接下来我就结合这学期参加的国培数学学习情况和听课内容，谈一下我对数学运算能力的所感所悟。

一、什么是运算能力呢？

   《数学课程标准(2011版)》指出，“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径来解决问题。”这两句话，实际上刻画了运算能力的三个主要表现特征:正确运算、理解算理、掌握算法。

   运算能力的形成可以分成两个阶段：

   第一阶段：能够按照一定的程序与步骤进行正确运算，称为运算技能。运算技能的特征是正确、熟练。

   第二阶段：不仅会正确、熟练地进行运算，而且能根据题目条件寻求合理、简洁的运算途径来解决问题，这个阶段方称之为运算能力。

   运算能力是运算技能与逻辑思维等能力的有机整合，不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。

二、运算在小学数学课程中占有重要的地位，它有着怎样的历史渊源呢？

   四则运算在我国起源很早，春秋战国时期，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法——筹算。后来，在长期使用算筹的基础上发明了算盘，算盘是我国古代一项重要的发明。

   小学数学从它的前身“小学堂算术”诞生之日起，就将计算列为首要的学习任务。清末初等小学堂学制五年，以学习整数四则计算为主，兼及小数，并授以珠算。然后高等小学堂学制四年，学完“整数、小数、分数的加、减、乘、除”。

   辛亥革命后，学堂改称学校，学制也有变动，但“算术要旨，在使儿童熟习日常之计算”始终没变。1912年颁布的《小学校教则及课程》中明确提出“算术宜用笔算及珠算，尤宜令熟习心算”，即出现“三算”：口算、笔算和珠算。1932年颁布的《小学课程标准算术》中首次出现了“培养儿童解决日常生活问题的计算能力”和“养成儿童计算敏捷和准确的习惯”这两条课程目标。计算与应用在目标中是捆绑在一起的,计算的目的是为了解决问题。

   新中国成立后，1952年颁发的《小学算术教学大纲（草案）》中提到关于计算的两项目标：1、儿童应获得“整数四则运算……口算和笔算的熟练技巧” 2、“解各种整数应用题的技能”,从这个时候开始，计算与解决问题“分道扬镳”。

   1963年的《全日制小学算术教学大纲（草案）》中，提出了四大能力：1、“培养学生正确、迅速的四则计算能力，2、正确地解答应用题的能力，3、具有初步的逻辑推理的能力,四、空间观念”。由此开始，计算能力成为小学算术“四大能力”之首，对运算的要求也达到了“顶峰”，如要求“比较熟练地计算三、四位数乘除多位数”。这个时期的教学，为达成“计算准确、迅速，方法合理、灵活”的要求，常常导致大量的、机械、重复的训练现象，这种练习使得孩子们在熟能生巧的同时，也伴随着熟能生厌现象的存在。这引起了我们的思考，后来因为计算机科学技术的发展，使得数学研究依赖单纯计算的可能越来越小，即便是在日常生活与工作中，计算也可以由计算器来完成。在这种情况下，2001年的《数学课程标准（实验稿）》中，提出了六个核心词，其中就没有了“计算能力”，取而代之的是“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化”，并强调“避免将运算与应用割裂开来”。

   十年后，《数学课程标准（2011年版）》将核心词增加至十个，“计算能力”改为“运算能力”，又回来了。

三、“运算能力”重新回来的意义是什么呢？

   从小学数学课程的实际来看，整数、小数、分数的计算始终是学习的主线，其他数学知识都必须跟随这根主线的进程而穿插、展开。  例如，平年、闰年的判断，离不开多位数除以一位数的计算；长方形周长的计算，需要以乘加运算为基础。否则，判断法则与计算公式都无法掌握、巩固。过去如此，现在、将来还会如此。

   再有，运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”、“统计与概率”“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，是不可或缺的内容。

   同时，我们应该看到小学四则运算是进一步学习整式、分式运算的基础，也是学习其他理科知识不可或缺的基础。

因此，计算教学中“必要的”、而不是“过剩的”基础练习，并达到一定的技能和技巧是必须的，这一点毋容置疑。

所以，2011版数学课程标准中，“运算能力”的回归，是一种必然的趋势。

 四、运算和计算所表达的意思一样吗？

      在数学中，运算的本质是集合之间的映射。但在数学教育领域，通常将运算视为根据规则对具体对象进行变形的演绎过程。

      运算具有十分广泛的内涵，不仅包括数值计算，以及代数式、方程的变形，还包括集合、向量、逻辑等的演算和数据的某些处理。

      过去的小学数学教学大纲，按习惯称计算能力，现在的义务教育课程标准，小学、初中必须兼顾，无疑统称运算能力更为确切。

     小学数学的用词习惯，两个数的加减乘除叫四则计算，多个数的加减乘除叫四则运算。事实上，计算、运算两词混用的现象比较普遍。即使在高等数学里，微积分运算、微积分计算也常常是同义词。

五、 诸子百家对运算有哪些解读？

      一是认为运算能力是一种综合能力。在中国中学教学百科全书·数学卷里，是这样定义的：“运算能力是运算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合”

     那其他专家又是如何解读的呢？

百家讲坛1：徐有表等主编的数学教学与智能发展中是这样描述的：“运算能力不是简单地加、减、乘、除的计算，而是与观察能力、记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力及想象能力等有关的由低级到高级的综合能力”[2]。

百家讲坛2：苏联教育心理学家克鲁捷茨基的研究，并给出了数学能力的九种成分：① 能概括数学材料，并能从外表上不同的方面去发现共同点的能力；② 能使数学材料形式化，并用形式的结构，即关系和联系的结构来进行运算的能力；③ 能用数字和其他符号来进行运算的能力；④ 连续而有节奏地逻辑推理的能力；⑤ 能用简缩的思维结构来进行思维的能力；⑥ 能逆转心理过程，从正向的思维系列到逆向的思维系列的能力；⑦ 思维的机动灵活性，即从一种心理运算过渡到另一种心理运算的能力；⑧ 数学记忆能力；⑨ 能形成空间概念的能力，借助形象化（直观）能力。这些成分，有些与运算能力直接相关，其他的也与运算能力有或多或少的联系。

百家讲坛3：在林崇德主编的.中学数学教学心理学 一书中是这样描述运算能力的。

     “运算能力主要表现为：根据中学数学的法则、公式等进行数学运算中表现出来的正确、合理、灵活、熟练程度上；还表现在理解运算的算理，根据题目条件寻求最合理、最简捷运算途径的水平上”。

百家讲坛4：在曹才翰主编.中国中学教学百科全书·数学卷一书中，是这样理解学生学生运算能力表现在数学解题活动的几个方面：

（1）迅速、正确地感知数学题目的形式结构(关系及其特点)的概括化能力(对数学材料的形式化知觉能力)。

 

（2）根据题目类型(运算和关系的特点)，正确地定出解法模式，根据运算法则、运算律或关系及其性质，定出化归的方向、解算的程序和变换的方法。

（3）心理过程的灵活性，即心理活动迅速重组的能力。打破原有的解法模式而代之以一个新的模式的能力。多方面去试探题目的解法，摆脱思维定势的影响。

（4）力求解法简洁、清楚、经济与合理。

（5）对题目类型、解法模式和原则等的概括化记忆(这种记忆特别有利于数学知识和方法的迁移)。”

六、2011版的课程标准中是如何定义运算能力的？

     《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中指出，“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”

      这两句话，实际上刻画了运算能力的三个主要表现特征：正确运算、理解算理、方法合理（运算途径简洁，是方法合理的自然结果）。也可以就字面意思解读为：运算能力主要是有根有据地正确运算的能力；它的作用是促进理解与应用。言下之意：运算能力的培养，主要依靠根据法则和运算律提高正确性，通过理解算理与灵活运用运算解决问题发展能力。

     此外，运算能力具有一定的层次性、发展性。由非负数运算到有理数运算，再到实数运算；由整式运算，到分式、根式运算；由具体运算到抽象运算。运算能力随着知识面的逐步拓展、抽象程度的渐次提高而不断发展。

七、从能力心理学的视角，运算能力可以如何分解？

观点1：陆书环.在2000年第一期的数学教学研究杂志上发表的——略论数学运算能力的结构及其培养策略为例，他是这样分解的：

① 对运算问题的最初定向；

② 对具体运算问题的抽象和概括能力；

③ 缩短推理过程和简化相应运算环节的能力；

④ 对运算方法的转换能力；

⑤ 优化运算过程和运算方法的能力；

⑥ 记忆能力。

观点2：简洪权.在2000年第1-2合刊中发表的论文《高中数学运算能力的组成及培养策略》所阐述的观点：

运算能力由五种能力组成：

① 对题目信息的挖掘能力；

② 定义、公式、法则和定理的运用能力；

③ 运算方法的选择能力；

④数学思想和方法的运用能力；

⑤ 估算能力。

 

观点3：章建跃在《解析几何的思想、内容与意义》一文中所阐述的观点是：运算能力包括以下内容：概括化记忆有关运算的基本知识；是否善于弄清问题中的基本数量关系，对问题的核心、类型、解法有一个最初的定向；能否简缩运算过程、优化运算环节；灵活地变换各种运算方法等。 

八、如何立足小学数学的实际，使运算能力结构的刻画便于在教学实践中加以运用？  

      曹培英老师给出了四面体模型来解释：

      1. 基本口算，也就是20以内的加减与表内乘除要不假思索、脱口而出，它是其他口算和任何笔算、估算离不开的运算反应。最浅显的例子如，知道7×8＝8×7，但不知道7×8或8×7等于多少的儿童，根本就不具备最起码的运算能力。

      2. 算法、算理是运算能力的两只手，两手都要抓，两手都要硬！道理很简单，不掌握算法就无法确保实现运算能力的最低要求“正确”；只知怎样算，不知为什么这样算，充其量只是搬弄数字的操作技能。

      3. 对于小学生来说，基本口算反应与进一步的算法、算理共同构成运算能力的底部。运算能力的提高必须建筑在这一基础上。

        4. 运算策略是指运算信息的挖掘与运算问题的定向，运算方法的选择与运算过程的简化及其自觉评价。它表现在解决单纯的运算问题中，也表现在解决实际问题的运算决策与实施过程中。运算策略与其他三个要素相互关联，运算策略水平，是鉴别运算能力的敏感因素。

以上内容便是我学习到和体会到的，我会在今后的计算教学中努力通过各种形式和方法提升学生们的运算能力，以促使计算题的准确率能有所提升。