哥德巴赫猜想的本意及答案

首先申明：以下内容欢迎大家反驳，理不辩不明；实践是检验真理的唯一标准，请大家用事实说话。

德国数学家哥德巴赫，根据部分偶数能够表示为两个奇素数之和的实践，提出了猜想：不小于6的偶数可以表示为两个奇素数之和。必须明确的是：哥德巴赫提出该猜想时，并没有什么附加条件，是后来人为的附加条件，造就了该题成为了世界著名数学难题。

题的本意：

1，不小于6的偶数，是指大于4的所有偶数，而不是断章取义的“充分大”，“充分大”只是大于4的所有偶数中微不足道的一部分。

2，“可以”是指能够、都能的意思，即，都必然能够的意思，重点是必须突出这个“都必然能够”，大于4的偶数缺一不可。

3，两个奇素数之和，是指两个奇素数相加。

综合起来就是：大于4的所有偶数，都必然能表示为两个奇素数之和，无一缺漏。

在说解题思路及答案之前，必须再说明一个问题，本题涉及两类数：偶数和奇素数。奇素数是准确无误的，来不得半点虚假的精准数。而数学中的对数，是研究乘法、除法、乘方、开方的近似的、简化运算。微积分：微分学的核心思想便是以直代曲，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程，微分学的核心思想便是以直代曲，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程，积分是微分的逆运算。

请大家注意这里的“近似计算”和“简化计算过程”几个字，不论是对数，还是微积分都不可能准确地计算出任何一个素数，所以，何必要生搬硬套地“必须使用高等数学”呢？

科学是从实践中来，再到实践中去，从感性认识到理性认识的过程。

其实，哥德巴赫猜想有两种破解方法，残忍筛法和比例筛法。残忍筛法说明它必然成立，比例筛法与实际相接近，推理符合客观规律，三个不同的侧面才能看清问题的真相。

一、残忍筛法

（一）、实践

例：偶数84的素数对，84=5+79=11+73=13+71=17+67=23+61=31+53=41+43。

这里的：11+73=13+71=17+67=23+61=31+53=41+43中的任何一个加数与偶数84的关系是什么？

答案是：令小于偶数84平方根的素数为小素数，则84的小素数为：2，3，5，7。令任意一个小素数为X，令这6个素数对为A+B，则，A/X不余0，（如果为0则为含素数X的合数或X本身）；令偶数84为M，则A/X与M/X的余数不相同，（如果相同，那么，B必然被X整除，B必然是含X的合数或X本身），这就是偶数的素数对定理。该定理不包括由小素数组成的素数对。

（二）、思考

如果，哥德巴赫猜想成立，那么，必然有符合该定理的数存在。

我们同样以小素数2，3，5，7为例，因，这里的小素数中最大的小素数为7，而7*7=49，仅大于7的素数为11，11*11=121，即，当偶数为50到120时，它们的小素数都是2，3，5，7；这些偶数都包括大于7，小于50这个范围的素数，那么，在这个范围之内是否存在符合偶数素数对定理的数呢？

说明：

1，这里把偶数的具体范围缩小了；

2，这里把偶数实际素数对范围缩小了（不包括由它的小素数组成的素数对）；

即，令小素数为2，3，5，7，…，R，令仅大于R的小素数为E，我们把哥德巴赫猜想变为：如果，哥德巴赫猜想成立，那么，当偶数存在于R*R到E*E之内时，在大于R，小于R*R之内必然有符合偶数素数对定理的数存在。

开个小玩笑：因为，没有小于偶数2和4平方根的小素数，所以，它们没有奇素数对。

继续思考，一方面偶数50到120有36个偶数，我们把它们一一利用素数对定理进行检验吗？烦琐；另一方面不小于6的偶数，是指大于4的所有偶数，我们不能遗漏任何一个偶数。

那么，我们就站在所有偶数的角度，相当于把实体偶数50到120变为了所有，也就是每次都在大于R，小于R*R之内，检测不与所有偶数中的任意一个偶数除以小素数（2，3，5，7，…，R）的余数一一对应的素数是否存在，这样才没有遗漏，才能服人。你也可能会问：

1，所有偶数包括偶数2和4，它们是没有奇素数对的。实际上，按上面的两个缩小，这里不只偶数2和4，我们的范围是大于R，小于R*R之内的素数，这些素数还不可能组成小于R+R的偶数的素数对？那么，这些偶数也属于所有偶数的组成部分，针对这些偶数又说明了什么呢？由此，另一个猜想自然会出来认领的。

2，所有偶数无穷无尽，怎么办？答：所有偶数是无穷无尽，但是，它们除以小素数的余数组合是有限的。如，所有偶数除以小素数2，3，5，7的余数组合，只有3*5*7=105个，那么，我们就站在所有偶数的角度来寻找不与偶数余数相同的最低剩余素数，不与其它偶数余数相同的素数个数，必然大于或等于最低偶数的剩余素数个数。

（三）、推理及实践

素数的定义：只能被1和自身数整除的整数叫素数。（自然数1不是素数）。

合数：能被1和自身数以外的整数整除的整数，叫合数。

能被1和自身数以外的整数整除的数，它必然能被小于或等于它根号以下的一个或多个素数整除，反过来，当一个大于3的任意整数，如果，它不能被小于它根号以下的所有素数整除时，它就是素数。

那么，当小素数为2，3，5，7，…，R时，令仅大于R的素数为E，那么，大于R，小于E*E之间的整数中，不能被2，3，5，7，…，R整除的，就是素数。当然，它包括大于R，小于R*R之间。

按偶数的素数对定理：令偶数为M，在偶数内的任意整数A，（1≠A≠M-1），当A除以小于根号M的所有素数的余数，既不为0；也不与M除以小于根号M的所有素数的余数一一对应相同时，A必然组成偶数M的素数对。

即，在大于7，小于49之内不能被2，3，5，7整除的数为素数：11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。

不与偶数除以小素数的余数相同，因，偶数除以2都余0，大于2的素数除以2都余1，即，小素数2不再参与对这些素数的删除。结论：当偶数能被任意小素数X整除时，因大于X的所有素数都是不能被X整除的，所以，素数X不能删除与偶数除以X余数相同的素数。

我们在这里令偶数不能被它的所有小素数中的奇素数整除，这符合情理，并且在R*R到E*E中能够寻找到这样的偶数，这叫实体偶数寻找；我们再令偶数不仅不能被小素数中的奇素数整除，而且，小素数中的每一个奇素数都删除除以它余数最多的素数，这叫残忍删除法，这种偶数在大于68之后，在R*R到E*E中一般不能够寻找到这样的偶数，这也就相当于站在所有偶数的余数中寻找最低剩余素数。

大于7，小于49之内的素数除以3余1的有：13，19，31，37，43；余2的有11，17，23，29，41，47。令偶数除以3余2，删除6个剩余5个。

这5个素数除以5余3的有两个，其它余数只有1个，令偶数除以5余3，删除后剩余3个素数。

这3个素数除以7的余数，各不相同，不论令偶数除以7余几，都必然剩余2个素数。

这里表明：

1，在大于7，小于49之内的素数中，不与所有偶数中任意一个偶数除以小素数2，3，5，7余数相同的最低剩余素数不低于2个。

2，当偶数为50到120之内的任意一个偶数时，在大于7，小于49之内的素数中能够组成这些偶数素数对的素数不低于2个。

3，当偶数为小于11+11，即，小于22时，在大于7，小于49之内的素数中相差这些偶数的素数组不低于2组（该结论，当小素数中最大的小素数大于或等于5时成立）。如，偶数8，在这里有37-29=8，有31-23=8，19-11=8.有3组，符合不低于2组的说法。

因，8/2余0，8/3余2，8/5余3，8/7余1；而37/2余1，37/3余1，37/5余2，37/7余2，

由此得，二数差定理：当B大于小素数中最大的小素数，B大于偶数W时，B除以所有小素数的余数，既不为0，也不与偶数W除以所有小素数的余数一一对应相同时，B-W必然不能被所有小素数整除，当差大于最大的小素数时，该差必然是素数。

说到这里，大家不难想到：当最低剩余素数一直存在时，哥德巴赫猜想成立；当最低剩余素数稳定增加时，孪生素数猜想也成立。这里所说的孪生素数猜想，是将相差2的素数组永远存在，扩大到相差任意偶数的素数组都存在，并且永远存在。

经实践得出：我们以小素数2，3，5，7，…，R和小素数为2，3，5，7，…，R′比较，当R′-R≤2时，最低剩余素数处于稳定状态，不减少；当R′-R>2时，最低剩余素数必然增长，结论：哥德巴赫猜想和孪生素数猜想同时成立。

二、比例筛法

为了与计算式同步，所以，我这里所说的“哥德巴赫猜想”与实际“猜想”有点区别，实际猜想包括小素数组成的素数对，我这里不包括。小素数就是偶数平方根以下的所有素数。如，偶数68=7+61=31+37，按猜想为2个素数对，我这里称它为1个素数对：31+37。因7<√68，7为偶数68的小素数，所以，这里不包括。

1，筛法

不进行实际操作，我们就不会明白猜想为什么成立，我们一起来筛选偶数204的素数对，保证让大家明白猜想成立的道理。

2个数相加等于偶数的组合这里称为数对：204/2=102个数对。

因√204≈14，即，102个数对中存在由2，3，5，7，11，13，这些素因子组成的合数形成的数对，我们把它们进行筛出后，剩余的就是素数对了。

①，删除含素因子2的合数组成的数对：因偶数204/2=102，即，用2乘以1到102的得数，都能被2整除，我们都把它们视为含素因子2的合数，共102/2=51个数对，剩余51个数对；删除数对的计算式为：102*1/2=51对。即，当素因子N，能够整除偶数时，素因子N删除偶数数对的1/N，剩余数对的（N-1）/N。

②，删除含素因子3的合数组成的数对：因偶数204/3=68，素因子2删除能被2整除的数后，68内剩余的数为奇数共68/2=34个奇数，因偶数204能被3整除，即能被3整除的数是对称组合的，34个数组成34/2=17个数对，删除后还剩余51-17=34个数对；删除数对的计算式为51/3=17对，同理：当素因子N，能够整除偶数时，素因子N删除偶数数对的1/N，剩余数对的（N-1）/N。

③，删除含素因子5的合数组成的数对：因偶数204/5≈40（不能整除），在40之内，素因子2和3删除后的剩余数为：1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，37，我们把素数乘以这13个数都视为合数（1*5不属于，也删除。下同），删除13个数对，还剩余21对；计算式为34*2/5=13.6对，实际删除略小于计算数。当素因子N，不能够整除偶数时，素因子N删除偶数数对的2/N，剩余数对的（N-2）/N，下同。

④，删除含素因子7的合数组成的数对：因偶数204/7≈29（不能整除），在29之内不能被素数2，3，5整除的：1，11，13，19，23，29分别乘以7共删除6个数对，其实，在29之内不能被素数2，3，5整除的数还有7和17，它们乘以7尾数为9，因偶数204-尾数9，其对称数已被5删除。按计算式为21*2/7=6对，删除数与计算数相符。还剩余21-6=15对；

⑤，删除含素因子11的合数组成的数对：因偶数204/11≈18（不能整除），在18之内不能被素数2，3，5，7整除的：1，11，13，17分别乘以11共删除4对。按计算式为15*2/11≈2.7，实际删除4对，还剩余15-4=11对；

⑥，删除含素因子13的合数组成的数对：因偶数204/13≈15（不能整除），在15之内不能被素数2，3，5，7，11整除的：1，用1*13，删除1个数对，其实，在15之内不能被素数2，3，5，7，11整除的数，还有13，因13*13=169尾数为9，因偶数204-尾数9，其对称数已被5删除。按计算为11*2/13=1.69对，删除数略小于计算数，当偶数较大时，后面删除的数对都略小于计算数，这就是实际剩余素数对略大于计算数的原因所在，当然，该例题在这方面没有体现出来（大家可以用略大一点的偶数一试便知），这里实际也有一个临界点。该题还剩余11-1=10个素数对：23+181，31+173，37+167，41+163，47+157，53+151，67+137，73+131，97+107，101+103。

总计算式为204*（1/2）*（1/2）*（2/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*（11/13）=10.08，实际为10对，与计算数基本相符。

说明：第一个1/2为偶数组成数对的计算，第二个1/2为素因子2删除后数对的剩余率，2/3为素因子3删除后数对的剩余率，素因子2，3都能整除偶数，剩余率对为（N-1）/N；后面的素因子不能整除偶数剩余率为（N-2）/N。

结论：

（1），令小于偶数平方根的素数为素因子，令任意素因子为N，当素因子N，能够整除偶数时，素因子N删除偶数数对的1/N，剩余数对的（N-1）/N；当素因子N，不能够整除偶数时，素因子N删除偶数数对的2/N，剩余数对的（N-2）/N。

按素因子由小到大的顺序依次删除合数对时，因为，每一次删除都是素因子N乘以偶数的1/N内不能被前面素因子整除的数或者不能被前面素因子整除的其中一部分数的乘积，或者只删除前面剩余数对的1/N或者2/N，（恰巧偶数都是能够被素因子2整除的，素因子2只能删除数对的1/2，剩余1/2，留下了存在的空间），也就是删除实际存在数对的一部分，所以，最终必然有剩余数对的存在，这就是哥德巴赫猜想永远存在的重要理由依据。

（2），偶数的素数对的多与少是存在上下波动，其主要原因是：偶数是否能被素因子整除？能够被大素因子还是小素因子整除，能被一个素因子整除还是能够被多个素因子整除，删除率是不一样的。

（3），偶数的素数对的多与少，就是与计算式相比，都存在上下波动，但是，如果人们有时间用较大的偶数进行实践，就可以看出，素因子N，在前面的素因子可以删除数对的1/N或者2/N，个别还可能略大于计算数，慢慢地到后面的素因子删除渐渐地就小于1/N或者2/N，偶数越大这一现象就越明显，当偶数大于临界点后，受这种因素的影响，偶数的实际素数对都会大于公式计算数的道理。

2，素数对参数

前面说到哥德巴赫猜想是永远成立的，那么，偶数素数对的多与少到底以什么作为参照数，参照数又说明了什么？

我们令偶数只能被小素数中的偶素数2整除，不能被小素数中的所有奇素数整除，令偶数为M，小素数为：2，3，5，7，11，…，R，那么，偶数的素数对为：

M*（1/2）*（1/2）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*…*（R-2）/R。

=M*（1/4）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*…*（R-2）/R。

说明：

（1），偶数乘以1/2得组成偶数的数对，再乘以1/2为素因子2删除含素因子2组成的合数对后剩余的数对，其它的（N-2）/N都为奇素因子N删除含素因子N的合数对后剩余的比例。

（2），大家都知道：（1/3）*（3/5）*（5/7）*（7/9）*（9/11）*…*（R-2）/R=1/R，而小于偶数平方根的奇合数是不参与删除的。如果，我们将*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*…*（R-2）/R换成1/R，那么，上面的式子就变为：（M/4）*（1/R），而M≥R*R，我们再把式中的M换成R*R，上面的式子就变为：（R*R/4）*（1/R）=R/4。

从该式子可以看出两点：当偶数不断增大时，R的值也随之增大，表明偶数的素数对随偶数的增大而相应增加；偶数素数对的平均间隔，为偶数除以素数对，即，M/（R/4）=4M/R≈4R，即随偶数的不断增大，R也随之增大，4R随之增大，表明偶数的素数对平均间隔随偶数的增大而相应增大，这完全符合范围越大，范围内的素数越来越稀疏现实。

偶数的最低素数对≈N/4，这是在增加了奇合数的删除时取得的，为了还原真相我们必须乘以奇合数删除率的倒数，即，乘以（9/7）*（15/13）*（21/19）*（25/23）*（27/25）*…*E/（E-2），当奇合数E为115时，该式的得数约为4，因115*115=13225，即，当偶数大于13225时，偶数中最低素数对的偶数的素数对个数开始大于偶数的平方根，在这以后，偶数的平方根就是偶数素数对的参数。当然，随着偶数的进一步增大，偶数平方根以下的奇合数会不断增加，偶数的素数对将慢慢地变为偶数平方根的若干倍。

以上结论，人们可以随便进行检验，特别是现在计算机的年代，检验起来会更加方便，真的假不了，假的也真不了。

三、素数相关定义

教科书把所有合数说成是合数数列，我认为：所有合数应该叫合数集合，而不应该叫做合数数列。所谓的合数数列应该是有一定规律的数列。

合数等差数列，在整数递增等差数列中，当首项能够被公差或者公差分解出来的素因子整除时，该数列只有首项可以为素数，其它项皆为合数，这样的数列除去首项的素数外，就叫合数等差数列。

与合数等差数列相对应的数列，必然不是纯合数，所以，我们在这里称它为能够产生素数的等差数列。

能够产生素数的等差数列，在整数递增等差数列中，当首项不能被公差和公差分解出来的素因子整除时，该数列就是能够产生素数的等差数列。

因为，能够产生素数的等差数列永远存在，所以，素数永远存在。

1，素数平分定义

例1,当公差为210时，因210=2*3*5*7，所以，在210之内不能被公差分解出来的素因子2，3，5，7，分别整除的数为(2-1)*(3-1)*(5-1)*(7-1)=48个数，以这48个数为首项，以210为公差，共组成48个能够产生素数的等差数列，这48个数列平分了不包括公差包含的素数子2，3，5，7以外的所有素数。

例2，因10=2*5，在10之内不能被2和5分别整除的数为：1*4=4个，即，1，3，7，9，用这4个数为首项，以10为公差共组成4个能够产生素数的等差数列，这4个数列平分了不包括2和5的所有素数。

2，猜想成立的理由

正是由于素数的平分原理，因为平分，造就了不同余数的素数交叉出现；因为不同余数的素数的交叉出现，确定了在偶数内的素数中，不与偶数除以它的小素数余数一一对应相同的素数必然存在，因为不与偶数除以它的小素数余数一一对应相同的素数的必然存在，造就了哥德巴赫猜想的必然成立。

                     四川省三台县工商局 王志成

                         2017年4月24日