数学发展史上三次数学危机

第一次数学危机 “无理数的产生”

第一次危机发生在公元前 580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立

了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知

识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

毕达哥拉斯学派认为“万物皆数” ，这个数就是整数，他们确定数学的目的是

企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理， 并且认为宇宙间的一切现象都能归结

为整数或整数之比。后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理） ，他们

认为这是一件很了不起的事， 然而了不起的事后面还有更了不起的事。 毕达哥拉

斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发， 发现边长为 1 的正方形对角线不能用

整数来表示， 这就产生了这个无理数。 这无疑对“万物皆数” 产生了巨大的冲击，

由此引发了第一次数学危机。

第二次数学危机“微积分工具”

18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分

数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 但是不管是牛顿， 还是莱布尼茨所创

立的微积分理论都是不严格的。

危机的起源

因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的， 但他们对作为

基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。 1734 年，英国哲学家、大主教贝

克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》 ，矛头指向微积分的基

础——无穷小的问题， 提出了所谓贝克莱悖论。 笼统的说， 贝克莱悖论可以表述

为“无穷小量究竟是否为 0”的问题。这一问题的提出在当时的数学界引起了一

定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。

第三次数学危机 “罗素悖论”

到 19 世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用

到其他的数学分支。 集合论是数学的基础， 由于集合论的使用， 数学似乎已经达

到了无懈可击的地步。 但是，正当数学家们熟练地应用集合论时， 数学帝国又爆

发了一次危机。

康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在 1900 年巴

黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称： “数学的严格性，看来直到今天

才可以说实现了。”但事隔两年后，却传出一个惊人的消息：集合论的概念本身

出现了矛盾。 这就是英国数学家罗素提出的著名的悖论， 罗素悖论的内容用一句

话表述就是：所有不以自己为元素的集合组成一个集合，记为 A；则有集合 A包

含 A等价于集何 A不包含 A这样的悖理 。罗素悖论一提出就在当时的数学界和

逻辑学界引起了极大的震动。 这一悖论引起的巨大反响则导致了数学史上的第三

次危机。

历史上的三次数学危机，给数学界带来了极大的麻烦，危机的产生使数学家

认识到了现有理论的缺陷， 科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个

新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展动力之一。希帕索斯悖论、

贝克莱悖论以及罗素悖论分别引发了数学发展史上的三次危机。 然而，这三次危

机又不同程度的促进了数学的发展。