【编者按】当前，我国小学数学课程改革进入关键时期。未来路在何方？基于当下时代背景、社会需求、学情特点，分析或解读正在施行的数学课程，无疑是必要而且重要的。然而，换一个角度，以历史的视角梳理、审视我国小学数学课程的历史嬗变之旅，也许可以使我们更加清晰地看到百年来我国小学数学课程改革的整体走势，从而以整体的视角，更加理性而辩证地行走在数学课程改革的路上。本刊重点策划“小学数学课程的历史嬗变”，拟对近代教育制度建立以来，我国小学数学课程的百年沉浮、百年兴替、百年演变进行系列报道，以期达到“以史为鉴”、服务当下、把握未来的目的。
清中晚期，我国数学教育发展的阶段性特征鲜明。1860年以前，一方面因受康熙皇帝重视数学学习的影响，官方数学教育继续维持；另一方面民间数学教育在一些书院中得以传播。但总体上来说，这段时期的数学教育并未有实质性发展。1860年以后，因经受两次鸦片战争失败之痛，洋务派开始大力宣扬数学教育，开办了一批教授数学课程的教学机构。1895年，甲午战争失败，政体改革与教育改革势在必行。此后，随着学制的建立与科举的废除，我国数学教育逐渐步入规范化阶段。这里我们主要讨论清末小学数学课程制度建立的主要历程。
一、课程背景
1.国际背景
19世纪至20世纪初是世界资本主义列强向帝国主义过渡的时期，英、德、法、美、俄等各国推行义务教育，均把算术作为主要课程之一。日本于1872年仿效法国公布了小学教则；在1886年，又公布了小学校令，同时实行教科书审查制度；1903年，修订小学校令实施规则，同时颁布国定教科书令，实行数学教育国家管理制度。美国在19世纪30年代以后，国内数学家对从法国全盘输入的数学教育进行了批判，并结合美国实际，编写数学教材；1893年成立了“初等教育的十五人委员会”，1895年发表报告书，指出小学数学教育的重点应放在训练、陶冶和实用上。1901年，培利在英国格拉斯哥发表演讲，提倡数学教育的各科融合及数学教育的适应性等。德国著名数学家哥廷根大学克莱因教授，在1900年前后领导了全国范围内的从小学到大学的数学教育改革运动，并于1905年在米兰召开了“数学理科教授协议会”，制定了新的教授纲目，一般被称为“米兰纲领”。
这里有必要提及的是对我国小学数学课程制度的建立产生巨大影响的一部译著。1901年，我国学者王国维翻译了日本藤利喜太郎的专著《算术条目及教授法》。该书提出了这样的算术课程目标：“一、使习熟日用计算之事；一、与以生业上有益之智识；一、于使习熟日用计算时之精神的锻炼；一、交多少数理因以养成数学思想时之精神的锻炼；一、供学代数之阶梯。”这是我国制定算术课程目标的蓝本。
2.国内背景
清末，内忧外患纷至沓来，国家陷入空前的危机。戊戌变法失败后，特别是1900年八国联军攻陷北京后，清政府更加内外交困，为了维护摇摇欲坠的封建统治，清政府从1901年起，开始实行了一些所谓的“新政”，对教育进行改革就是其中一项重要内容。
1901年后，各省书院改设学堂，学校类型趋于完备。一般学堂通常都有具体的规章制度、课程设置等，为制定全国学制提供实际经验。随着新式学堂的日益壮大，制定全国统一的学制、规定各级各类学堂的培养目标、课程设置、规章制度成为新式学堂发展的必然需要。为此，管学大臣张百熙派京师大学堂总教习吴汝伦赴日本考察，为制定新学制提供了必要资料。
至于清政府早年曾派员游学西洋，现为何改学东洋，张之洞在其名作《劝学篇·游学第二》里解释为：“至游学之国，西洋不如东洋：一、路近省费，可多遣；一、东文近于中文，易通晓；一、西书甚繁，凡西学不切要者，东人已删节而酌情改之。中东情势，风俗相近，易仿行，事半功倍，无过于此，若自欲求精求备，再赴西洋，有何不可？”
二、课程目标
学制的颁行是学校制度近代化的标志。《钦定学堂章程》作为中国近代教育史上第一部学校系统文件，事属初创，草率简略，形式单一在所难免。《奏定学堂章程》主要是模仿日本“明治学制”制定而成，它是这一时期学习日本的成果的集中体现。《奏定初等小学堂章程》和《奏定高等小学堂章程》规定了“算术”(这里“算术”一词源自日本，之前包括《钦定学堂章程》中这一课程均称为“算学”）的课程目标、课程内容和教学方法等，这可算作我国最早的小学算术课程标准。
1.《钦定学堂章程》规定的相关课程目标
《钦定学堂章程》内分《钦定京师大学堂章程》、《钦定大学堂考选入学章程》、《钦定高等学堂章程》、《钦定中学堂章程》、《钦定小学堂章程》和《钦定蒙学堂章程》。其中，《钦定蒙学堂章程》在“全学纲领”中指出“蒙学堂之宗旨，在培养儿童使有浅近之知识，并调护其身体”；《钦定小学堂章程》在“全学纲领”中指出“小学堂之宗旨，在授以道德知识及一切有益身体之事”。这里的课程目标并未涉及任何具体学科，显得比较空泛。
2.《奏定学堂章程》规定的相关小学算术课程目标
《奏定学堂章程》内分《奏定初等小学堂章程》、《奏定高等小学堂章程》、《奏定中学堂章程》、《奏定高等学堂章程》、《奏定大学堂章程》、《奏定蒙养院章程及家庭教育法章程》和《奏定初级师范学堂章程》。《奏定初等小学堂章程》规定的课程目标为“其要义在使日用之计算，与以自谋生计必须之知识，兼使精细其心思。当先就十以内之数示以加减乘除之方，使之纯熟无误，然后渐加其数至万位而止，兼及小数；并宜授以珠算，以便将来寻常实业之用”。《奏定高等小学堂章程》规定的算术课程目标为“其要义在使习四民皆所必须之算法，为将来自谋生计之基本。教授之时，宜稍加以复杂之算术，兼使习熟运算之法”。（“四民”是指“士、农、工、商”）。这里的课程目标，在基础知识的教学上强调“日用”和“自谋生计”所需，在计算能力的培养上突出了当时较为实用的珠算，并提出了在数学教育中培养思维能力的要求，即“精细其心思”，但是对“几何初步知识”的课程要求未作具体说明。
三、教材教法
1.教科书概述
如果说，学制颁布前南洋公学等编制的教科书，是我国小学算学教科书的草创，那么《奏定学堂章程》颁行阶段就可以看作是我国小学算术教科书的完善、发展阶段。此时，我国小学算术教科书从以前的翻译、编译为主，逐步转向自行编著，其中最具代表性的主要有以下几种。
1902年夏，廉泉、俞复和丁宝书等在上海创办文明书局，发行教科书多种，总称科学全书，其中有董瑞椿所编《珠算》一本、丁福保所编《心算》和《笔算》各一本。下面，以《笔算》为例作简要说明。该书共安排了31节，分“数之写法”“记号”“定位之名（即现在所说的数位）”“数之读法”“二十以内之加法”“二十以内之减法”“二十以内之乘法”“二十以内之除法”“百以内之加法”“百以内之减法”“百内之乘法”“百以内之除法”“千以内之加法”“千以内之减法”“千内之乘法”“千以内之除法”“万以内之加法”“万以内之减法” “万内之乘法”“多位数除法”“乘法中之截圈(即乘数末尾有零的乘法)”“除法中之截圈(末尾有零的除法)”“核乘法之简术”等课时。该书具有明显的重算法、轻算理的倾向，例如“百以内之加法”一课教材先出示例题：“设如四十八加三十五，问得若干。答八十三。”接着，出示运算竖式 (如图1，这里没有“+”号)。紧接着，明确算法：“第一，先将两数齐其位而横立之，分为上下两层，又于其下作一横线为界；第二，次将八与五相加得十三，先书其三于本位之下，而心中记其十为上位之一以与四及三相加，则得八，故于十位之下书八，则共得八十三，为求得之数。”例题学习后，教科书上配有习题。其他计算的编写也大体如此。
1902年，商务印书馆聘高凤谦为编辑所长，请蒋维乔计划，由日本人长尾槇太郎、小谷重等人协助着手编写小学算学教科书。该馆根据《钦定学堂章程》将教科书分为蒙学（4册，徐寯）和小学（6册，杜亚泉、王兆枬）两套。后因《钦定学堂章程》未及实施，并于1904年颁布了《奏定学堂章程》，因其规定小学分为初等小学5年和高等小学4年，这两套教科书便分别改编为《最新笔算教科书（供初等小学用）》（5册）和《最新高等小学笔算教科书》（4册）。上述各教科书分册配有教学参考书，分别为《最新初等小学笔算教科书教授法（1-5册）》和《最新高等小学笔算教科书教授法（1-4册）》。各册《笔算教科书教授法》按课时编写，每课所编内容主要内容包括“教授要旨”(相当于现在所说的教学目标)、“教授事项”(相当于现在所说的教学过程)和“练习”这三部分。这批《最新教科书》被蒋维乔在《编辑小学教科书之回忆》一文中评价：“此书既出，其他书局之儿童读本，即渐渐不复流行……”究其原因，该书具有一些新的特征。如，概念的学习注重借助学生已有认知，以及将新的概念作必要的直观教学处理。如教材中“4的认识”（见图2）不仅考虑了以上几点，甚至还考虑了数与运算间的联系。这样的编排即便在今天看来也是具有“现代教学理念”的。再如，在教学“1加
1905年，清政府设立学部，学部旋于1906年设立编译图书局，作为编撰和审定教科书的专门机构，开始了我国教科书审查工作，并陆续公布了审查结果，这是我国第一次实行教科书审查制度。1907年和1908年，学部编译图书局仿照文明书局和商务印书馆的体例，先后陆续出版了《初等小学算术教授书》（10册）和《高等小学算术教授书》（8册），同时配套“教授细案”，这是我国部编教科书之始。该教授书除具备商务印书馆教材的一些特点（如借助直观、联系实际）外，还有一些新的特征，如笔算时增加了运算符号，在《初等小学算术教授书》第十册第二十页上，笔算题（如图5）中带有“-”号。此外，这套教材首次使用“应用问题”的概念，并安排专门授课，如《初等小学算术教授书》第二册第六十八课即为“等分法之应用问题”，且共安排了四个例题，其中例题一为“有米六担，分装二包，问每包装米几担”。
此外，中国图书公司（张謇等于1906年发起）、上海广益书局等出版机构也相继出版了大量小学算术教科书。至此，我国小学算术教科书的编写工作已经全面铺开，这里就不再一一赘述。
2.教学方法概述
《钦定蒙学堂章程》在第二章“功课教法”中首次制定了教授法，指出：“凡教授儿童，须尽其循循善诱之法……凡教授之法，以讲解为最要，诵读次之，至背诵则择紧要处试验。若遍责背诵，必伤脑力，所当切戒。凡儿童每一
（1）教授基本原理
1905年，蔡元培等编著的初级师范学校教科书《教授法原理》（上海，商务印书馆），在第四编“教授之原理”中强调了以下几点：一是直观。“……知识之根源，在于直观，是故教授先不可不为直观的……直观者，可因其得之之方法，而分为二：（一）自然之直观，儿童于其游戏及散步之际，所自得者。（二）直观教授，教师据实物，而特使儿童直观者……”显然，这里强调了教学的直观性原则，很大程度上修正了学堂章程的偏差，这在当时是十分有价值了，也体现了当时的学术民主之风，值得今世学界借鉴。二是观念之类化。“观念之在心界，不能独立也，必求其伴侣，而与之相结合调和以为群……故今者接新事物，而心界生一新观念，此新观念，必欲于心界已有之就观念中，求其类于己者而与之相结合，旧观念亦自欲迎此类似于己之新观念而与之相结合。此作用者谓之观念类化。”“是故欲授事物之观念，则一方面宜求儿童旧观念中，有关于今兹将授之新观念者，而唤起之，以明所谓教授之基点，又一方面宜以新观念，适宜而分节提示之，使彼此易于类化融合。”这一教授原理，用现在的教育理论来解释，就是要充分考虑并利用学习者的“原有认知”，这也是奥苏伯尔“认知同化”理论的核心观点。
（2）主流教授法
《教授法原理》在第五编“教授之方法”中着重介绍了“分
（3）主要教授方式
清末主要的教授方式可以分为两类：一类是“独动的教式”，也就是我们常说的教师单向向学生施教的教学方式；另一类则是“共动的教式”，亦即我们现在常说的“师生互动式”教学。其中，“独动的教式”分为“示教式”“示范式”和“讲演式”；“共动的教式”可以分为“发问式”“课题式”和“对语式”。当时，采用最
（4）典型的教授模式
当时，“五
第一段，预备：观念之类化，在于新旧二观念之融合。可以对已经学过的内容进行复习，或者通过心算、笔算对将学习的内容作铺垫，或者通过相关的问题唤起学生进行类化，之后再作整理。
第二段，提示：唤起旧观念，而使之明了，且整理之而使之正确，提示新事物以增值其知识，而扩张其思想，此一作用，即提示阶段。
第三段，比较：比较新旧观念而辨别其异同，分解类似观念，舍其相异之属性，抽出相同之属性，是即比较阶段之任务也。
第四段，总括：在前面比较新旧知识（概念或原则），并适当抽象的基础上，概括其共同属性，并能用恰当的语言来表达。
第五段，应用：在实际应用中加深对知识的理解、技能的掌握，并时所学内容与原有认知建立广泛联系，促进学习者今后的相关学习。
值得注意的是，俞子夷在《现代我国小学数学教学法演变一斑》中指出：“五段法的提示初被误认为只是教师讲述，学生被动地静静听讲。后来改进，反对注入式，提倡启发式。”这体现了我
四、综合述评
清末新教育制度的建立，是清政府在一个特定的内忧外患交困的背景下，维护封建统治的一项“新政”，但“癸卯学制”的建立，对于推动中国近代教育的兴起，进而实现中国教育向资本主义教育的转变具有重要历史意义和现实意义。
1.发展概况
我国近代小学数学课程制度的建立，经历了一个极其曲折的过程。首先是外国教会学校对我国小学数学课程的发展起到了“无心插柳”式的积极影响；接着我们先辈在特定的历史背景下积极向西洋（欧美）、东洋（日本）学习，进行了有效的实地考察，并翻译了大量学术专著及教科书；最后又结合我国实际，颁布了我们自己的学堂章程，自编了大量教科书和相关教学法专著，最终形成的自己的近代课程特色。这段时期的主要成就表现在以下几方面：建设了一批我国的近代小学，建立了我国近代数学课程制度，完善了我国小学数学教科书的审查制度，初步建立了我国的近代小学数学教学理论体系……
2.历史意义
我国先辈自编算术教科书，吸收了外国教科书的长处，并进行了必要的扬弃，有力地推进了我国小学数学教育的现代化进程。与传统教科书相比，这一时期的小学算术教科书更注重数学知识的系统联系，更关注儿童的认知发展水平。
这一阶段，我国首个正式施行的学堂章程在教学法方面特别注重讲解，容易导致教师教学的“注入式”取向。但是，很快我国老一辈专家学者认识到其中的不足，并加以发展完善，提高了教学实效，实现了教学方式的多样化。特别是，“课题式”和“对语式”教学方式，时至今日还被不少人看作是建国以来第八次课程改革所倡导的“新”的教学方式。
3.今日视角
“以史为鉴，可以知兴替。”课程改革亦是如此，不能正确地认识历史，吸取经验教训，也就找不到前进的方向。历史证明，我国近代小学数学教育在起步之时，就有较高的水平，就存在许多有待今后进一步继承和发扬的优良传统或优势，不能让外国的偏见和误解干扰我国的小学数学课程改革。
（1）注重教学的启发性原则
《钦定蒙学堂章程》以及《奏定初等小学堂章程》、《奏定高等小学学章程》都先后指出：“凡教授儿童，须尽其循循善诱之法”，这对于刚刚脱胎于封建旧式私塾教学模式的新式学校教学体系来说，无疑是极大的进步，时至今日仍具现实意义。同时，我们也应清醒地认识到这也是我国清末学者继承了古代儒家教育思想精髓的正确之举，这也是对当今国内外有些学者每每谈及我国传统的数学教学便是“注入式”“填鸭式”等的一个有力回击。这对我们的启示是，在数学课程改革时千万不可丢弃我们的优良传统，因为这是经受过历史检验的，适合我国实际的正确做法，是我们的宝贵财富。
（2）注重教学的直观性原则
“知识之根源，在于直观”，这不仅出自蔡元培先生的学术专著，而且可以在清末的相关算术教科书中看到这一观点的体现，如前文提到的“4的认识”“1加4”以及“方步”的学习。由此，我不禁要问，我国传统的数学教学内容果真都是“繁、难、偏、旧”吗？持此观点的论者真的了解我国数学教学的传统吗？
（3）注重教学的差异性原则
“所诵经书本应成诵，万一有记性过钝实不能背诵者，宜于试验时择紧要处令其讲解……若强责背诵，必伤脑力，不可不慎”，这虽非直指数学教学，但明确反映了当时教学要照顾儿童差异的基本要求。
（4）利用人类一切有效的教学方式
“凡教授之法，以讲解为最要，诵读次之。”单从字面理解，容易误认为当时的教学就是“注入式”讲解，加上学生“死记硬背”。但是，联系上下文，并结合我国实际，就会有不同的看法。不妨再看下文，“至背诵则择紧要处试验。若遍责背诵，必伤脑力，所当切戒。”何意？原来是让学生背诵时挑关键的、重要的内容。巧妙运用“理解的基础去记忆”和“适当记忆的基础上去理解”，这种“理解”和“记忆”相互促进的关系，是我们古代学习方法的优良传统。“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”以及熟记“九九表”使计算熟练，就是这个道理的例证。
此外，无论“独动的教式”中的“示教式”“示范式”和“讲演式”，抑或是“共动的教式”中“发问式”“课题式”和“对语式”都各有长短，都是人类有效的学习方式。从哲学的视角来看，人类的认识是从实践开始的，学生的学习可以从实践开始，从学习具体经验开始，但更重要的是以学习间接经验为主。学生以间接经验为主的学习主要特点是，把人类世世代代积累起来的科学文化知识加以选择、加工，使其简约化、系统化、心理化。这就可以避免重复人类在认识发展中经历的错误与曲折，用较短的时间、较高的效率掌握人类创造的基本知识，在新的起点上继续人类认识和改造世界的“长征”，从而促进社会的发展
总之，清末小学数学教育发展凝聚了许多当时中国有识者的智慧和心血，建立了我国小学数学近代课程制度，具有里程碑意义。
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