欧洲数学在经历了漫长的中世纪的压制，到了15世纪的最后几十年，已经开始了骚动，文明已经在觉醒。1450年，约翰内斯·古登堡发明了活字印刷，从此书籍开始大量流行，博洛尼亚、巴黎、牛津和其他地方的大学成为高等教育和学术活动的中心。
1494 年，意大利数学家卢卡·帕西奥利写了一部题为《算术大全》的书。在这部著作中，帕西奥利讨论了当代的标准数学，并重点讨论了一次方程和二次方程的解法。有趣的是，他在方程中用字母co代表未知量，无意中创造了原始的符号代数。co是意大利语cosa（意为"事物"）一词的缩写--即求解的事物。虽然100多年以后，代数才有了我们今天这样的符号系统，但《算术大全》却朝着符号代数方向迈出了一步。
卢卡·帕西奥利
接下来就是当时数学的一个重头戏了：一般形式的一元三次方程（ax^3+bx^2+cx+d=0）的求解问题。故事是从博洛尼亚大学的希皮奥内·德尔·费罗开始的。天才的费罗发现了一个解 "缺项三次方程"的公式。所谓缺项三次方程，就是一个没有二次项的三次方程，其表现形式为ax^3+cx+d=0。通常，我们习惯于用a去除方程的各项，并将常数项移到方程右边，这样，我们就可以将这一缺项三次方程转变为其标准形式x^3+mx=n，虽然费罗只掌握了这种特殊形式的三次方程，但他对代数的推进却意义深远。
费罗
另一位天才数学家塔塔利亚则发现了解出x^3+mx^2=n 形式的三次方程的方法，并且通过这个方法击败了费罗的学生安东尼奥·费奥尔。但是塔塔利亚却上了另外一个人的当，那人就是卡尔达诺。卡尔达诺也是一名意大利的数学家，同时他还是一名医生。他一生共写了各类文章、书籍200多种，现存材料就有约7000页。
塔塔利亚
卡尔达诺在塔塔利亚战胜费奥尔之后，就不断写信给塔塔利亚，请求他将解三次方程的方法告诉自己。塔塔利亚一开始当然是拒绝的，但是禁不住卡尔达诺的反复追求（请求），终于在1539年把方法用密码的方式告诉了卡尔达诺，并且让他发誓不告诉别人。但是到了1545年，卡尔达诺出版了他的数学名著《大术》，在书中首次公布了三、四次代数方程的一般解法（其中三次代数方程的解法思想就是来自于塔塔利亚，而四次代数方程的解法思想则是由卡尔达诺的学生费拉里发现的），确认了高于一次的代数方程多于一个根，已知方程的一个根可将方程降阶，指出方程的根与系数间的某些关系，利用反复实施代换的方法求得方程的近似解。在解方程中使用了虚数等。其中关于一般二次代数方程的求根公式今称"卡尔达诺公式"。
卡尔达诺求三次方程公式
塔塔利亚被激怒了，他与卡尔达诺开始论战，然而很明显卡尔达诺的学生费拉里并不买塔塔利亚的帐。经过反复的书信交火之后，塔塔利亚上门挑战，然而还是让费拉里打败了，逃了回去。
卡尔达诺
现代读者在阅读《大术》第十一章时，会有两点感到意外。其一是卡尔达诺并没有给出解一般三次方程的证明，只列举了一种特殊形式的缺项三次方程，即x^3＋6x＝20（鉴于卡尔达诺的公式求解过程太长了，科普君就不在这里赘述了，有兴趣的读者可以自行去查阅）。其二是卡尔达诺的论证是一种纯几何式的，涉及真正的立方体及其体积。关于这个问题，其实只要我们想一想当时代数符号的原始状态和文艺复兴时期数学家对古希腊几何的看重，疑团便会烟消云散。
在《大术》中，卡尔达诺还提到了一个著名的问题：五次方程的代数解。这个问题要过将近300年才得到解决，我们以后会谈到。
卡尔达诺一生著作颇丰，包括：《算术实践与个体测量》（1539）在计算方法与代数变换中显示出较高的技巧；《论掷骰游戏》（1563）给出一些概率论的基本概念和定理，得到所谓"幂定理"等结果；他的另外两部著作《事物之精妙》（1550）与《世间万物》（1553）包含了大量力学、机械学、天文学、化学、生物学等自然科学与技术的知识，还有密码术、炼金术，以及占星术等内容。此外，他还是最早认识自然界水循环理论的学者之一。
欧洲数学在经过了中世纪的黑暗统治之后，终于在文艺复兴时期开始了自己的复兴之路。
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