一个多位数，把末位数字放到首位变成原来的2倍

 

方法1：

设原数为：……2

把2放在首位后的数为：2……

因为原数与把2放在首位后的数位数是相同的！所以：

……2 *2=2……

可以推出：原数中的首位必然是 1 即原数是形式：1……2

1……2 *2

可以推出：原数中的倒数第二位是 4 ,即1……42

1……42*2

可以推出：原数中的倒数第三位是 8 ,即1……842

1……842*2

可以推出：原数中的倒数第四位是 6 , 1……6842

1……6842*2

可以推出：原数中的倒数第五位是 3 ,即1……36842

1……36842*2

可以推出：原数中的倒数第六位是 7 , 即1……736842

1……736842*2

可以推出：原数中的倒数第七位是4 ,即1……4736842

同样的方法向下推,

可以推出：原数中的倒数第十七位是 0 ,即1...05263157894736842

1...05263157894736842 *2

可以推出：原数中的倒数第十八位是 1 ,即1...05263157894736842

答案已经出来了：105263157894736842

 

答案是：

105263157894736842

 

 

方法2：

设这个多位数为N位数，它的前N-1位为X，最后一位为Y，则这个数为10X+Y，把最后一位放在最前面时数为10的N-1次方*Y+X，那么

10的N-1次方*Y+X=2(10X+Y)

19X=(10的N-1次方-2)*Y

因为X、Y为整数，那么10的N-1次方-2必为19的倍数

由此可得N=18

X=((10的17次方-2)/19)*Y=5263157894736842*Y

由于X为17位数，所以Y可以取：2、3、4、5、6、7、8、9

Y=2，X=10526315789473684，这个数为：105263157894736842

Y=3，X=15789473684210526，这个数为：157894736842105263

Y=4，X=21052631578947368，这个数为：210526315789473684

Y=5，X=26315789473684210，这个数为：263157894736842105

Y=6，X=31578947368421052，这个数为：315789473684210526

Y=7，X=36842105263157894，这个数为：368421052631578947

Y=8，X=42105263157894736，这个数为：421052631578947368

Y=9，X=47368421052631578，这个数为：473684210526315789

这是18位数的所有答案，下一批答案就是36位数了，

很简单，就把上面的单元重复两遍，再下面是54位数，以此类推

 

 

 

方法3:

设原数的个位是2，原数是……2，

……2×2=……4，可见原数的十位是4，原数是……42，

……42×2=……84，可见原数的百位是8，原数是……842，

……842×2=……684，可见原数的千位是6，原数是……6842，

这样一直做下去，直到乘积第一位等于2，就得到

105263157894736842×2=210526315789473684.

或者用除法做：设原数的个位是2，原数的2倍是2……，

2……÷2=1……，可见原数的第1位是1，

21……÷2=10……，可见原数的第2位是0，

210……÷2=105……，可见原数的第3位是5，

2105……÷2=1052……，可见原数的第4位是2，

这样一直做下去，直到商等于2，就得到

210526315789473684÷2=105263157894736842

 

顺便说一说：105263157894736842是2/19化成循环小数后的第一个循环节。1/19化成循环小数，循环节长等于18=19-1，这种循环小数叫长循环小数，长循环小数的循环节有许多有趣的性质.

 

 

105263157894736842

157894736842105263

210526315789473684

263157894736842105

315789473684210526

368421052631578947

421052631578947368

473684210526315789