中国数学奥林匹克决战6道真题汇总，看你能搞定几道

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第二天与第一天的试题汇总如下：

第31届中国数学奥林匹克

（2015年12月17日8:00-12:30）

4.设整数，不超过n的素数共有k个.设A是集合的子集，A的元素个数小于k，且A中任意一个数不是另一个数的倍数，证明：存在集合的k元子集B，使得B中任意一个数也不是另一个数的倍数，且B包含A.

5.在平面中，对任意给定的凸四边形，证明：存在正方形(其顶点可以按顺时针或者逆时针标记)，使得，且直线经过同一个点。

6.一项赛事共有100位选手参加，对于任意两位选手，他们之间恰比赛一次且分出胜负，以表示x战胜y.如果对任意两位选手，均能找到某个选手序列（），使得，那么称该竞赛结果是“友好”的。

（1）证明：对任意一个友好的赛事结果，存在正整数m满足如下条件：

对任意两位选手，均能找到某个长度为m的选手序列（这里可以有重复），使得

（2）对任意一个友好的赛事结果T，将符合（1）中条件的最小正整数m记为，求的最小值。