B.29 马尔可夫分析
B.29.1 概述
如果系统未来的状况仅取决于其现在的状况，那么就可以使用马尔可夫分析(Markov analysis)。这种分析通常用来分析那些存在多重状况的可维修系统，而可靠性框图分析不适合对该系统进行充分分析。通过运用更高层次的马尔可夫链，这种方法可拓展到更复杂的系统中。同时，这种方法只会受模型、数学计算和假设的限制。
马尔可夫分析是一项定量技术，可以是不连续的(利用状态间变化的概率)或者连续的(利用各状态的变化率)。
虽然马尔可夫分析可以手动进行，但是该技术的性质使其更依存于市场上普遍存在的计算机程序。
B.29.2 用途
马尔可夫分析技术可用于各种系统结构(无论是否需要维修)，包括：
马尔可夫分析技术也可以用于计算设备可用度，包括考虑需要维修的备件。
B.29.3 输入
马尔可夫分析的关键输入数据如下所示：
B.29.4 过程
马尔可夫分析技术主要围绕“状态”这个概念(例如，现有状态及故障状态)以及基于常概率的状态间的转移。随机转移概率矩阵可用来描述状态间的转移，以便计算各种输出结果。
为了说明马尔可夫分析技术，不妨分析一种仅存在于三种状态的复杂系统。功能、降级和故障将分别界定为状态S1、状态S2以及状态S3。每天，系统都会存在于这三种状态中的某一种。下表说明了系统明天处于状态Si的概率(i可以是1、2或3)。
表B.2 马尔可夫矩阵
该概率阵称作马尔可夫矩阵，或是转移矩阵。注意，每栏数值之和是1，因为它们是每种情况一切可能结果的总和。这个系统可以用马尔可夫图来表示。其中，圆圈代表状态，箭头代表相应概率的转移。
图B.7 系统马尔可夫图
从某个状态返回自身的箭头通常并不绘出，但是为了完整性也显示在这些例子中。
Pi代表系统处于状态i(i可以是1、2或3)的概率，那么需要解决的联立方程包括：
这三个方程并非独立的，无法解出三个未知数。因此，下列方程必须使用，而上述方程中有一个方程可以弃用。
状态1、2及3的答案分别是0.85、0.13和0.02。该系统只在85%的时间里能充分发挥功效，13%的时间内处于降级状态，而2%的时间存在故障。
应考虑平行运行的两个组件，其中，系统要发挥功能，其中一组件必须正常运行。这些组件可能是正常或故障的，系统的可用性依赖于组件的整体状态。
状态可以视为：
状态1：两个项目能发挥正常功能；
状态2：一个项目已出现故障并正在进行维修，而另一个项目运行正常；
状态3：两个项目都已出现故障且都在进行维修。
如果假设各项的故障率为λ，维修率为μ，那么状态转移图如下所示：
图B. 8状态转移图
注意，从状态1到状态2的转移为2λ，因为这两项中任一项的故障都会使系统进入状态2。
设定Pi(t)为t时系统处于初始状态的概率；
设定Pi(t+δt)为t+δt时系统处于最终状态的概率。
转移概率矩阵就变成：
表B.3 最终马尔可夫矩阵
最初状态
值得关注的是，如果无法从状态1转移到状态3或是由状态3转移到状态1，那么就会出现零值。而且，在规定比率时，各栏总和为零。
联立方程变为：
为了简单起见，我们假设所需的可用度为稳定状态可用度。
当δt趋向无限时，dPi/dt会趋于零，解方程式会变得更容易。
上面方程(B.4)所示的附加方程式也必须加以利用。
现在，方程A(t)=P1(t)+P2(t)可以表示为：
A=P1+P2
因此，
B.29.5 输出
马尔可夫分析的输出结果是处于各种状态下的各种概率，因此，可以估算出故障概率及/或可用度(系统的关键组件之一)。
B.29.6 优点及局限
马尔可夫分析的优点包括：
l 能够计算出具有维修能力和多重降级状态的系统的概率。
马尔可夫分析的局限包括：
B.29.7 比较
类似于Petri网分析，马尔可夫分析也能监督并观察系统状态。两者存在差异，因为前者能同时存在于多重状态下。
联系客服
