如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。——庞加莱
一、数学的起源
数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科，在古希腊之前是不存在的。但在更早的一些原始文明社会中，有些已经发展出抽象的数的概念，并有相应的进制；有些知道四则运算和分数；也认识到最简单的几何概念如直线、圆和角。而数学的应用只限于简单的交易、田地面积的粗略计算、陶器上的几何图案、织在布上的花格和计时等。
二、美索不达米亚文明
大约在公元前5000年，苏美尔人在底格里斯河与幼发拉底河之间的美索不达米亚平原（今伊拉克的一部分）建立了人类最早的文明之一。巴比伦曾经征服美索不达米亚平原并创造了辉煌的文明。巴比伦人对数学进展有某些显著影响，提供了经得起科学分析的知识核心。
三、巴比伦数学
巴比伦的数学传统自苏美尔文化到基督教创始。考古学家在19世纪上半叶于美索不达米亚发掘出大约50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板。其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学泥书板，现在关于巴比伦的数学知识就源于分析这些原始文献。
他们的整数写法如下，突出特点是以60为基底并采用进位记号。希腊人、欧洲人到16世纪亦将这一系统运用于数学计算和天文学计算中，直至现在，60进制仍被应用于角度、时间等记录上。
巴比伦人懂得加减乘数，还有乘法表、倒数表、平方和平方根表、立方和立方根表。经常用到分数，也知道代数数列和几何数列。
对于巴比伦令分数的分母为常数并等于60的原因，康托尔（19世纪德国数学家，集合论创立者）认为可能是：早期的巴比伦人认为一年共有360天，期间太阳围绕地球转了一圈。这就导致圆被分割为360度，每一度代表一天中太阳走过的距离。而等于圆半径的弦可以绕圆周截6次，因此圆可分为6个扇形，每个扇形的中心角为60度。
巴比伦人知道二次方程根的公式，会计算面积和体积，还计算复利问题，其中需要求出一个未知的指数函数值。他们还懂一些数论和不定方程。
在公元前1900年～公元前1600年间的一块泥板上(普林顿322号)，记录了一个数表，经研究发现其中有两组数分别是边长为整数的直角三角形斜边边长和一个直角边边长，由此推出另一个直角边边长，亦即得出不定方程x2＋y2=z2的整数解。
（普林顿322号）
巴比伦人做出了世界上第一个轮子，说明他们知道圆。一块被保存在耶鲁大学的有着3800年历史的石板上刻着古巴比伦早期发现的勾股定律，这甚至比著名古希腊数学家毕达哥拉斯和中国西周的商高更早发现了勾股定理。
但几何对于巴比伦人是不重要的，相关计算都转化为了代数问题。
在天文学方面，巴比伦人已有一系列长期进行研究的记录（比如金星与太阳同升同落的现象），并且已经发现许多准确性很高的天文学周期（比如计算太阴月、预测日月食）。他们算出了夏至的时间，然后取等分定出冬至和春分、秋分的时间。
巴比伦的算术和代数步骤以及几何法则都是根据物理事实、边试边改以及从直观认识得出的结果。关于证明的想法，依据于决定取舍原则的逻辑结构的思想，以及问题的解在什么条件下存在这些方面的考虑，在巴比伦的数学里都是找不到的。
下一讲古埃及的数学。
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