二、分类计算
上面提到的分类计算的方法,是数图形的重要方法,下面举例加以说明。
例4 图3-10中到底有多少个三角形?
分析与解 图3-10中到底有多少个三角形,我们采用分类的方法进行计算。
和三角形AFG一样的三角形还有4个,它们分别是三角形BGH、CHI、DIJ、EJF。这一类三角形共有5个。
和三角形ABG一样的三角形还有4个,它们分别是三角形BCH、CDI、DEJ、EAF。这一类的三角形也共有5个。
和三角形ABF一样的三角形还有9个,它们分别是三角形AEG、BAH、BCG、CHD、CBI、DIE、CDJ、DEF、AEJ。这一类三角形共有10个。
和三角形ABE一样的三角形还有4个,它们分别是三角形ABC、BCD、CDE、DEA。这一类三角形共有5个。
和三角形ACD一样的三角形还有4个,它们分别是三角形BDE、CAE、DAB、EBC,这一类三角形也共有5个。
和三角形ADH一样的三角形还有4个,它们分别是三角形ACJ、BDF、CEG、BEI,这一类三角形还是共有5个。
求出这六类三角形个数的和,便是结果。所以图3-10中共有三角形。
5+5+10+5+5+5=35(个)
例5 图3-11中有多少个三角形?
分析与解 为叙述方便,我们将图3-11添上一些字母和标号得图3-12。先采用过去提到的有关公式计算三角形ABF、ABE、ACF中所有三角形的个数。
三角形ABF的底边BF上共有五个点,所以共有三角形(1+2+3+4)10个。三角形ABE、ACF的底边BE、FC上各有四个点,所以各共有三角形(1+2+3)6个。
在图3-12下半部五边形BCDEF中,分别用1至10这十个数给每一单独的小块图形标号,下面按构成三角形的小块图形的个数进行分类计算。
由单独一个小块图形构成的三角形有8个,它们分别是三角形1、4、5、6、7、9、10。
由相邻两个小块图形拼成的三角形有6个,它们分别是由1、2;3、4;4、5;5、6;9、10;10、1拼成的三角形。
由相邻三个小块图形拼成的三角形不存在。
由相邻四个小块图形拼成的三角形有3个,它们分别是由1、2、3、4;1、2、3、6;2、3、4、9拼成的三角形。
由相邻五个小块图形拼成的三角形不存在。
由相邻六个小块图形拼成的三角形有2个,它们分别是由1、2、3、4、5、6;1、2、3、4、9、10拼成的三角形。
别的三角形没有了。
再看由图3-12上、下两部分结合起来形成的三角形,除了上面已讨论过的三角形ABE、ACF中所包含的三角形外,还有三角形AEF、ABC、AED、ACD。
把上面各种情况所得三角形的个数相加,便可求出结果。
所以图3-11中共有三角形
10+6×2+8+6+3+2+4=45(个)。
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