小数老师说
导数里的分类讨论是同学们最头疼的点,其实在小数老师看来,导数题目不难,关键是要找准分类讨论的标准,然后计算能力过关就OK了,这个假期小数老师会通过几道例题分别给大家讲解一下这个知识点,希望能让绝大多数同学都能拿到满分!
这道题显然是一道典型的利用导数求函数极值的题目,函数也是比较中规中矩的三次函数,因此,只要是基础知识扎实,这道题的难度不大!但是对于分类讨论部分,很多同学分类不清晰,再加上导数里面有参数a还有自变量x,同学们很容易会出现错误,下面,跟着小数老师一起看看,怎么分类才能拿满分?!
一般小数老师会根据求导后需要讨论的那部分解析式进行分类,比如,一次函数型,二次函数能分解因式型,二次函数不能分解因式型,能转化为一次或二次函数型,等,其中前三类是基础类型,同学们务必要掌握好,今天这道题属于二次函数能分解因式型。
(1) 对于求极值或者求单调性的题目,第一步是求导并求函数定义域(是原函数的定义域,而不是导函数的定义域哦)
所以
接下来,观察导函数,会发现导函数可以是一个二次函数型的(一定不能直接说是二次函数,因为a的范围不确定),再回到条件里,可以看到a>0,所以就是属于二次函数,还是能分解因式的,所以继续往下,
我们知道,求函数的极值,一般是令导函数为0,求出根,然后判断函数在区间上的单调性,得到极值,
所以,令
由于a>0,所以x2>x1,所以可以得到
x | (-∞,0) | 0 | (0,2/a) | 2/a | (2/a,+∞) |
f‘(x) | + | 0 | — | 0 | + |
f(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
注意:第一问由于限制了条件a>0,所以不需要讨论,只要比较一下两根的关系即可,难度不是很大!
(2) 第二问与第一问的区别在于两点:一是a的范围放大了,二是函数的定义域变小了,这样一来难度就有点增大了,我们从上面求出的导函数开始,
由于a的范围扩大了,对于这个导函数,形式上是二次函数,但其实不一定,因为二次项系数是a^2,所以第一步要先考虑a=0时,此时f’(x)=0,所以此时f(x)是常函数,不存在极值;
当a不等于0时,导函数为二次函数型的,
由(1)得,两根为
接下来由于a的范围不定,再加上定义域是[-1,1],必须要分类讨论了,那么应该怎么分类呢?
小数老师送你一个法宝,数轴,请看图:
这个图上三个点分别是定义域的两个端点,以及根x1,对于根x2,此时无法确定位置,但是我们要分类讨论了,通过数轴我们可以看到x2可以有以下几种情况了,
x2≤-1,
-1<><>
0<><>
X2≥1
共四种情况,接下来,我们就这四种情况进行讨论,
① 当x2≤-1,即-2≤a<>导函数的大体图像为
通过图像列表可得
x | [-1,0) | 0 | (0,1] |
f’(x) | - | 0 | + |
f(x) | 递减 | 极小值 | 递增 |
② 当-1<><>,即a<>导函数的大体图像为
通过图像列表为
x | [-1,2/a) | 2/a | (2/a,0) | 0 | (0,1] |
f’(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
③ 当0<><>,即a>2时,导函数的大体图像为:
通过图像列表为
x | [-1,0) | 0 | (0,2/a,) | 2/a | (2/a,1] |
f’(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
④ 当X2≥1,即0<>≤2时,导函数的大体图像为:
通过图像列表为
x | [-1,0) | 0 | (0,1] |
f’(x) | + | 0 | - |
f(x) | 递增 | 极大值 | 递减 |
最后注意:刚才小数老师画的数轴与导函数的简图,不要出现在答题纸上,那仅仅是帮助你解题的一个工具而已哦,答题格式可以是列表,可以是描述,但是最后都不要忘了综上所述,把所有的情况都说明白,今天小数老师的目标是让大家会分类讨论,所以这题没有写标准答案,同学们自己要注意哈!
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