编辑距离概念描述：
编辑距离，又称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。
例如将kitten一字转成sitting：
sitten （k→s）
sittin （e→i）
sitting （→g）
俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。
问题：找出字符串的编辑距离，即把一个字符串s1最少经过多少步操作变成编程字符串s2，操作有三种，添加一个字符，删除一个字符，修改一个字符
解析：
首先定义这样一个函数——edit(i, j)，它表示第一个字符串的长度为i的子串到第二个字符串的长度为j的子串的编辑距离。
显然可以有如下动态规划公式：
if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
if i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
if i ≥ 1 且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，当第一个字符串的第i个字符不等于第二个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。
0
f
a
i
l
i
n
g
0
s
a
i
l
n
0
f
a
i
l
i
n
g
0
0
1
2
3
4
5
6
7
s
1
a
2
i
3
l
4
n
5
计算edit(1, 1)，edit(0, 1) + 1 == 2，edit(1, 0) + 1 == 2，edit(0, 0) + f(1, 1) == 0 + 1 == 1，min(edit(0, 1)，edit(1, 0)，edit(0, 0) + f(1, 1))==1，因此edit(1, 1) == 1。 依次类推：
0
f
a
i
l
i
n
g
0
0
1
2
3
4
5
6
7
s
1
1
2
3
4
5
6
7
a
2
2
i
3
l
4
n
5
edit(2, 1) + 1 == 3，edit(1, 2) + 1 == 3，edit(1, 1) + f(2, 2) == 1 + 0 == 1，其中s1[2] == 'a' 而 s2[1] == 'f'‘，两者不相同，所以交换相邻字符的操作不计入比较最小数中计算。以此计算，得出最后矩阵为：
0
f
a
i
l
i
n
g
0
0
1
2
3
4
5
6
7
s
1
1
2
3
4
5
6
7
a
2
2
1
2
3
4
5
6
i
3
3
2
1
2
3
4
5
l
4
4
3
2
1
2
3
4
n
5
5
4
3
2
2
2
3
程序（C++）：注意二维数组动态分配和释放的方法！！
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int min(int a, int b)
{
return a < b ? a : b;
}
int edit(string str1, string str2)
{
int max1 = str1.size();
int max2 = str2.size();
int **ptr = new int*[max1 + 1];
for(int i = 0; i < max1 + 1 ;i++)
{
ptr[i] = new int[max2 + 1];
}
for(int i = 0 ;i < max1 + 1 ;i++)
{
ptr[i][0] = i;
}
for(int i = 0 ;i < max2 + 1;i++)
{
ptr[0][i] = i;
}
for(int i = 1 ;i < max1 + 1 ;i++)
{
for(int j = 1 ;j< max2 + 1; j++)
{
int d;
int temp = min(ptr[i-1][j] + 1, ptr[i][j-1] + 1);
if(str1[i-1] == str2[j-1])
{
d = 0 ;
}
else
{
d = 1 ;
}
ptr[i][j] = min(temp, ptr[i-1][j-1] + d);
}
}
cout << '**************************' << endl;
for(int i = 0 ;i < max1 + 1 ;i++)
{
for(int j = 0; j< max2 + 1; j++)
{
cout << ptr[i][j] << ' ' ;
}
cout << endl;
}
cout << '**************************' << endl;
int dis = ptr[max1][max2];
for(int i = 0; i < max1 + 1; i++)
{
delete[] ptr[i];
ptr[i] = NULL;
}
delete[] ptr;
ptr = NULL;
return dis;
}
int main(void)
{
string str1 = 'sailn';
string str2 = 'failing';
int r = edit(str1, str2);
cout << 'the dis is : ' << r << endl;
return 0;
}
执行效果：
