教学内容：比例的意义和基本性质
【知识要点归纳】
1．比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。它是判定两个比能否组成比例的依据之一。组成比例的四个数叫做它的项，分为内项和外项。
2．比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。它是判定两个比能否组成比例的另一重要依据。运用比例的基本性质可以解比例。
3．解比例
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项，叫做解比例。
4．比例尺
（1）比例尺的意义。
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。表示如下：
图上距离：实际距离=比例尺 或
=比例尺
比例尺一般写成“1∶a”或“a∶1”的形式，分为数字比例尺和线段比例尺两种。
5．比例尺的作用
在绘地图和其它平面图的时候，需要把实际距离缩小一定的倍数；在制造精密仪器时，需要把实际尺寸扩大一定倍数后，再画在图纸上。
6．求图上距离和实际距离的方法
一般用方程来解答。即设定要求的量为未知数，然后列成比例式，再用解比例的方式求出未知数。如果计算熟练，也可以直接运用公式解答：
图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺
【典型范例剖析】
例1 如果两个比的比值
和
互为倒数，那么a、b、c、d这四个数可以组成怎样的比例？写出比例式？
分析：由
与
互为倒数，且
的倒数是
，可知
。
解：a、b、c、d四个数可能组成的比例式为：
①
②
③
④
例2 判定
、
、
、
四个数能否组成比例。
分析：判定两个比能否组成比例的方法有两种：一是定义；二是比例的基本性质。运用比例的基本性质判定时，可以将四个数中最大的数与最小的数组成一组，剩下的两个数组成一组，看它们的乘积是不是相等；运用定义作判定时，可以将四个数中较小的两个数组成一个比、让剩下的两个较大的数组成一个比，看它们的比值是否相等。
解法一：
解法二：
所以
所以：
则
、
、
、
可以组成比例
答：
、
、
、
四个数可以组成比例。
例3 在比例尺是1：2000的图纸上，量得一个长方形花园的长是2．4厘米，宽是1．8厘米，这个花园的实际面积是多少平方米？
分析：长方形的面积等于长乘以宽，题中告诉了比例尺和图上距离，我们可以直接运用关系式来求出长与宽的实际距离，然后计算花园的实际面积。
解：设长为x厘米，宽为y厘米则有：
①
②
x＝2000×2.4
y＝2000×1.8
x＝4800
y＝3600
4800厘米=48米
3600厘米=36米
③长方形的面积为：48×36＝1728（平方米）
答：这个花园的实际面积是1728平方米
例4 甲的
等于乙数的
，那么甲比乙少几分之几？
分析：根据比例的基本性质将甲×
=乙×
写成比例的形式，然后，看甲、乙的分数，最后用“甲比乙少几分之几”的关系式（乙-甲）÷乙，得出结果。
解：由甲×
=乙×
得， 甲：乙=
：
=
则甲=乙×
，也就是把乙看成单位“1”平均分成21份，甲相当于其中的8份。则
（21-8）÷21=
答：甲比乙少
。
【解题技巧指点】
1．用求比值的方法组成比例时，注意四个数如何分成两组：一是将较小的两个数分成一组，将较大的两个数分成一组；二是将较小和较大的两组数中的较小的分成一组，较大的分成一组。如：1，2，4，8。可以将1、2和4、8分成两组，即1∶2＝4∶8或2∶1=8∶4，也可以将1、4和2、8分成两组即1∶4＝2∶8或4∶1=8∶2。
2．用比例的基本性质组比例时，分组的方法只有一种，那就是用最小的和最大的组成一组，其余两个组成一组：如3、4、6、8四个数：可以将3、8和4、6组成两组。即：3×8＝4×6
3．利用比例的基本性质判定四个数能组成比例后，一般可以得到四个比例式，这四个比例式的表现形式虽不一样，但都满足“两内项之积等于两外项之积”。
4．运用比例尺解题时，要特别注意单位的统一。如求用60厘米表示30千米的比例尺时，就是用60厘米：30千米=60厘米∶3000000厘米=1∶50000。
【课本难题解答】
练习一第8题
分析：根据比例的基本性质，我们可以用等号左边的一个因式分别比等号右边的一个因式，再用等号右边剩下的一个因式比等号左边剩下的一个因式：
解：（1）由3×40＝8×15得3∶8＝15∶40 3∶15＝8∶40 40∶8＝15∶3
40∶15=8∶3 （上述四个比例式的左、右两边还可以调换位置）
（2）由
得
练习一思考题
分析与答案：三人进行田径比赛，有五个项目，就有五个第一名、五个第二名和五个第三名，三人的总分为：
（1+2+5）×5＝40（分）。乙得800米赛跑的第一名，得到5分，那么他其它四项就一共得4分，所以乙得到其它四项的第三名。丙一共得到9分，他不能再得到某项的第一名，所以丙得到100米、400米、跳高、跳远的第二名和800米的第三名。则甲得到800米的第二名和其它四项的第一名。
练习二第10题
分析：题中要求的是平行四边形的实际面积，但未告诉图上距离，我们可以用刻度尺量出平行四边形的底边和高大约为2.5厘米、1.5厘米，再根据求实际距离的公式，求出平行四边形的实际底边和高的长度，最后计算其实际面积。
解：量得平行四边形的底边长2.5厘米，高为1.5厘米，则
①平行四边形的实际底长为：2.5÷
=1250厘米
②平行四边形的实际高为：1.5÷
=750厘米
1250厘米=12.5米 750厘米=7.5米
③平行四边形的面积为： 12.5×7.5＝93.75平方米。
答：实际面积为93.75平方米。
练习二思考题
分析与答案：从图中可以看出：三角形的内角和是180°，即180×（3-2）度；四边形引一条对角线，可以看作两个三角形，所以四边形的内角和是180°×2＝360°，即180×（4-2）度；依此类推，发现n边形的内角和是180×（n-2）度。
【发散思维导训】
导1 把“
”改成比例的形式，一共能得到哪些不同的比例？
分析：根据比例的定义，要想将乘法关系的两个相等式子，改成相比关系的两个相等式子，我们可以运用乘除互逆的原则来进行变形。即，由“
”得“
=
×2.5÷4.5”进一步，得到“
”也就是：
。
解：根据题意，能得到的比例是：
①
②
③4.5：
④4.5：2.5=
说明：检验比例是否正确的原则是比例的基本性质。通过上例的检验，我们可以发现：四个比例所变成的两内项之积等于两外项之积都满足一个式子：
。
导2 在比例尺是1：6000000的地图上，量得两地距离是5厘米。甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，3小时后两车相遇。已知甲汽车与乙汽车的速度比是2：3，求甲、乙两辆汽车的速度各是多少千米/时？
分析：这道题实际上是行程问题中的相遇问题，我们要根据题中的比例尺和图上距离，先求出甲、乙两地之间的实际距离：5÷
=30000000厘米=300千米。然后运用相遇问题的关系式：S甲+S乙＝S总（S甲、S乙、S总分别表示甲、乙行驶的路程和总路程）来解答问题。
解：甲、乙两地之间的实际距离为：
5÷
=30000000厘米=300千米。
设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为
x千米/时，则
3x+3×
=300 （x=60）
则
x=
（千米/时）
答：甲车速度为每小时40千米，乙车速度为每小时60千米。
导3 青山区小学六年级学生分三组参加植树活动，第一组和第二组人数的比是5：4，第二组和第三组人数的比是3：2，已知第一组人数比第二、三组人数的总和少15人。求六年级参加植树的共有多少人？
分析：先根据各小组之间的比例关系，找出三个组之间的具体比例关系，然后找出与15相对应的分率，从而找出对应的总量：
解：由
得三个组之间的比例关系是：甲：乙：丙=15：12：8。
解法一：15÷（
）=105（人）
解法二：设六年级的总人数为x人，则：
（x=105）
答：六年级共有人数105人。
训1 三人共储蓄780元，现甲从自己的存款中取出100元；乙从自己的存款中取出80元，丙取出本人储蓄的
，则三人余下的存款有这样的关系；甲是乙的
倍，乙与丙的比是3：2，则甲、乙、丙三人原各有多少存款？
训2 甲、乙两人骑自行车各从一地同时相向而行，甲行全程要6小时，两人相遇时所行的路程比是3：2，这时甲比乙多行18千米，求乙每小时行多少千米。
训3 甲、乙两仓库原有水泥袋数的比是4：3，甲仓库用去48袋后，甲、乙两仓库水泥袋数的比是2：3，甲、乙两仓库原有水泥各多少袋？
【同步达纲练习】
【作业优化设计】
1．填空。
（1）4∶0.5的比值是（ ），12∶15的比值是（ ）。
（2）
的比值是（ ），与它的比值相等的最简比是（ ），两个比组成的比例是（ ）。
（3）如果5a＝8b，那么（ ）：（ ）＝5：8。
（4）如果
，那么m∶n＝（ ）：（ ）。
（5）用3、6、2、9四个数组成两个不同的比例是（ ）。
（6）图上20厘米表示实际10千米，这幅地图的比例尺是（ ）。
（7）比例尺1：5000000，表示地图上1厘米的距离表示地面上实际上（ ）千米。
（8）
这是（ ）例尺，它表示图上（ ）的距离，相当于实际距离（ ）千米。
（9）比例尺4：1是表示把实际距离（ ）。
（10）图上的距离是实际距离的10倍，画在地图上、所用的比例尺是（ ），如画一个零件在图纸上是20厘米，实际上这个零件的长度为（ ）。
2．判断。（对的打“√”，错的打“×”）
（1）两个比组成的式子叫比例。（ ）
（2）由2、3、4、5四个数可以组成比例。（ ）
（3）因为3x=4y，所以
。（ ）
（4）在比例尺是
的图纸上量得一条小路长1厘米，这条小路实际长1千米。（ ）
（5）图上长4厘米的线段表示实际长20千米，则这幅图的比例尺是1：5000。（ ）
3．选择题。
（1）能与
组成比例的是（ ）。
①2：3
②3：2
③
④
（2）下列各组数中可以组成比例的是（ ）。
①0、1、3、6
②2、3、4、6
③5、6、8、9
④1、2、3、4
（3）能与
、1、
组成比例的数有（ ）个。
①0
②1
③2
④3
（4）在比例尺是
的地图上量得两地之间的距离是4厘米，则两地之间的实际距离是（ ）千米。
①24000000
②24000
③2400
④240
（5）一个工厂的长是600米，画在比例尺是
的地图上是（ ）厘米。
①6
②15
③4
④1
（6）在一个比例式中，两个比的比值是4，这两个比的内项都是6，这个比例式是（ ）。
①24：6＝6：65
②1.5：6＝6：24
③6：1.5＝24：6
（7）一个三角形的三个内角的比是2：3：5，这个三角形是（ ）三角形。
①直角
②锐角
③钝角
④等腰
（8）在
中，x等于（ ）才能组成比例。
①1.5
②
③2
④1
4．根据下列要求写出比例式。
（1）使它的各项都是整数，而且两个比的比值是5。
（2）使它的内项相等，而且两个比的比值都是
。
（3）使它的两个内项互为倒数。
5．解比例。
（1）
（2）
（3）
（4）x:
6．应用题。
(1)两地之间的距离是600千米，画在地图上用3厘米的线段来表示，那么这幅地图的比例尺是多少？
（2）在比例尺为1：20000的图纸上，量出一个操场的宽为2厘米，长为3厘米，它的实际面积是多少平方米？
(3)在比例尺为1：3000000的地图上，量得甲、乙两地的距离为3.6厘米，如果汽车以每小时60千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？
（4）在一幅比例尺是1：200000O的地图上，量得甲、乙两地的距离是20厘米。如果在另一幅地图上，甲、乙两地的距离是10厘米，另一幅地图的比例尺是多少？
【快乐大本营】
放大比例尺
在比例尺为100：1的图纸上，量得一个零件的长是15厘米，这个零件的实际长度是多少厘米？试比较这个零件图上长度和实际长度的大小。
【作业优化设计】
1．（1）8，
（2）
，3：160，
：20=3：160 （3）b：a （4）7:11 （5）略 （6）
（7）50 （8）线段比，1 ，20 （9）扩大4倍 （10）10：1，2厘米
2．（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）×
3．（1）① （2）② （3）④ （4）④ （5）② （6）② （7）②
4．略
5．（1）x=30 （2）x=1
（3）
（4）x=
6．（1）1：20000000 （2）240000平方米 （3）1.8小时 （4）1：4000000
【快乐大本营】
0.15厘米，图上长度大于实际长度
