1. 极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。 刘徽已领悟到数列极限的要谛， 故能有重要创获。 刘徽的杰出贡献首推他在 《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化 的思想。在一千五百年前能运用这种思想，是难能可贵的。
有了割圆术，也就有了计算圆周率的理论和方法。圆周率是圆周长和直径的比 值，简称 π 值。 π 值是否正确，直接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土 木建筑等方面的应用，所以精确计算 π 值，是数学上的一个重要任务。
2. 关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决， 而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途 径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现： “求圆亭（圆 台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为 π ∶ 4 ，由 此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是 π ∶ 4 。 很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。刘徽 这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之 为“刘徽定理”。在古代没有微积分的时候，这条定理起着微积分的作用，在 现代数学中仍有共价值。刘宋时祖冲之、祖暅父子继承刘徽定理而得出更为进步的祖氏原理。在西方，直到 1635 年意大利数学家卡瓦列利才有了与祖氏父子 类似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比刘徽更迟了一千三百多年。
3. 十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，在刘徽以前， 一般是用分数或命名制来表示，如“一升又五分升之三”，即升。或七分八厘 九毫五忽”等，在位数较少时，尚可凑合，当小数位数太多时，便很不方便， 因之刘徽建立了十进分数制。他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数， 开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。他说：“微数无名者以为分 子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也”。用 现代方法写其方根近似值是忽。
4. 改进了线性方程组的解法《九章算术》中有一章专讲线性方程组问题。用一 种“直除法”求解，即解方程组时把多个未知数逐步减少到一个未知数，然后 反过来求出所有未知数的值。“直除法”的消元（未知数）要通过对应项系数 累减的办法来完成，比较麻烦。刘徽对“直除法”加以改进，在解二元一次方 程组时，用了“互乘对减”的方法，一次消去一项，如同后来的加减消元法。 刘徽虽然只用过一次“互乘对减法”，但他知此法带有普遍性，可以推广到任 何元数的线性方程组。刘徽还使用配分比例法解线性方程组，也是有创造性的 成果。在欧洲，直到十六世纪法国数学家布丢解线性方程的方法才与《九章算术》的“直除法”相似，然而已比《九章算术》晚了一千七百多年，而且没有 刘徽改进的解法好。
5. 总结和发展了重差术我国古代，将用“表”（标杆）或“矩”（刻划以留标 记）进行两次测望的测量方法称做“重差术”。《九章算术注》中第九章《句股》，主要讲测量高、深、广、远问题，说明当时测量数学和测绘地图已有相 当水平。刘徽《重差》一卷所以被改称《海岛算经》就是因为其第一题是讲测 量海岛的。“重差”之名，古已有之，刘徽对之进行了深入而具体的研究，他 解释重差的含义说：“凡望极高，测绝深，而兼知其远者，必用重差，勾股则 必以重差为率，故曰：重差也”。刘徽的《海岛算经》共答案。其解法都可以 变成平面三角公式，起着与三角同等的作用，可说是我国古代特有的三角法。
在西方，古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。阿基米德将他自己对球体积的计算一直引以为豪。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式，阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。
虽然西方数学家阿基米德对球体积的计算研究的时间更早，但是在我国南北朝时期，祖冲之父子独立研究出的“祖暅原理”比阿基米德的研究内容要丰富，涉及的问题更复杂。祖冲之和他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体积的计算问题。
《九章算术》中认为，球体的外切圆柱体与球体积之比等于正方形与其内切圆面积之比，刘徽为《九章算术》作注时指出，原书的说法是不正确的，只有“牟合方盖”（垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积）与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之比。但刘徽没有求出两圆柱体垂直相交部分的体积公式，所以也就得不出球体积公式。祖冲之父子应用“等高处横截面积常相等的两个立体，其体积也必然相等”这一原理，求出了“牟合方盖”的体积。而球体体积等于π／4乘以“牟合方盖”体积，从而最终算出球体积，这个公式就是著名的“祖暅公理”。
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