作为原理的数学和作为方法的数学

我儿子三年级，在学而思学奥数，开始学方程了。一共分三讲：第一讲用字母代替数，第二讲解一元一次简单方程，第三讲如何用简单方程解应用题。第一讲比较简单，第二讲孩子就开始糊涂了，不明白，死记老师的解题步骤：先脱括号，再通项（啥是通项也不是很明白），然后把未知数放到等号的一边去（这部分更糊涂，就跟着老师依样画葫芦做），最后解出未知数。第三讲还没讲，看教材就是教孩子如何用列方程的方式来解鸡兔同笼、和差倍这类经典算数应用题。

孩子不太明白怎么解方程，但是他模仿能力真的很强，基本上10道题他就错了一题，在把未知数从右边往左边倒的时候符号搞错了。问他解题步骤，他真的很纠结，完全讲不清楚，就说跟着老师步骤做，有时候会背不清楚步骤，抓耳挠腮的。这么多年过去了，我也不知道该怎么教他，老实说我只记得一条，等号两边移动要变符号，但他要问我为什么，我还真说不清楚。我只能拿着他的教材现学再教。最后总算教会他一点，等号两边做同样的事情，等式依然成立。所以左边如果-x，那么两边都+x，左边的-x就被+x抵消掉了，右边多了个+x，这就相当于把左边的-x挪到右边还变了个号。

我教会他，心中仍然忐忑。我很想知道美国人是怎么教方程的。于是我在可汗学院里面找。4年级没有，5年级没有，6年级才出现！在美国人的数学体系里，方程是作为代数体系的一部分出现的，因此，首先需要在5年级引入代数（algebra）的概念，而代数思维的基础是在数轴图的小方格上画点，以此看明白一个数a经过某种给定的算法，成为另一个数b，a和b之间有着某种有规律（pattern）的联系，在数轴图上以某种有规律的线来表示。

在此基础上，6年级开始引入方程（equation）的概念。equation其实是等式的意思，不知道晚清的时候为啥给译成了方程。然而，首先并不是先学如何解方程，而是先教如何用变量（variable) 代替数形成一种代数表达（expression），而这种表达随着赋予变量不同的具体数值而有不同的value，于是教学生计算在不同数值下这种代数表达代表的不同数值（evaluating an expression）。这样的代数表达里可以一个或几个变量，也可能涉及加减乘除不同的算法。然后教孩子如何用代数表达来描述日常语言，比如在X上增加5，就可以写作X+5。在这一套完整的代数语言的基础上，再开始教方程。

教方程的过程也很不同。首先先引入“相等（equation)”的概念。x+5=10，让你往里去试数，哪个数能让等式成立。这是给孩子一个概念，x可以是任何数，也即变量，但是只有某个数（或者在不定方程里）或某些数能让等式成立。接着，才开始教解方程，也即让人更快找到哪个数能让等式成立的方法。其过程简直傻子都能看懂，就是画天平，左边右边加减同样的砝码，天平保持不变。到这里为止，终于和学而思的奥数会师了！

我在想，这两个体系到底区别在哪里呢？学而思是把解方程当方法来教的，目的是为了解决复杂的小学数学问题。这并不难。普遍资质的小孩就能学会，说实话，依样画葫芦，用方程来解鸡兔同笼问题，其实比用算数方法方便多了。但是，小孩就只会这一种方法，其背后的原理并不清楚，更不要说整个代数体系了。于是，到了初中和高中，他们会很艰难地重新去学习函数，学习画函数图，到了大学会更加艰难地去学微积分。

我开始越来越觉得奥数教学体系的问题了。为了解决复杂问题，老师不得不引入越来越多的高阶数学知识，但是这些知识只是以工具的方式被介绍进来，因此是零碎而不完整的，数学成为工具箱里的螺丝刀、扳手、老虎钳，而不是一整个齿轮箱里相互联系的齿轮。聪明的孩子可以学会如何去用这些工具，但他们大概很长时间里都会只是把工具当工具。我不知道这样的思维会对孩子产生什么样的影响，也许对聪明孩子而言根本没有影响。但是我觉得我会很遗憾我的孩子没能以一种更自然的方式去接受代数的启蒙。