学透勾股定理八板斧

勾股定理是几何中的一个重要定理，在直角三角形的判定，锐角三角函数，三角形全等、相似以及圆中都有重要的应用。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，耿老师结合20余年的教学经验，为你准备了八板斧，让你在中考中取得满分！

【证法1】(课本的证明)

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

　　从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

　

　， 整理得

.

　　【证法2】(邹元治证明)

　　以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

　　∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

　　∴ ∠AHE = ∠BEF.

　　∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,

　　∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.

　　∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

　　∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于

.

　　∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

　　∴ ∠HGD = ∠EHA.

　　∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,

　　∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.

　　又∵ ∠GHE = 90o,

　　∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

　　∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于

.

　　∴

. ∴

.

　　【证法3】(赵爽证明)

　　以a、b 为直角边(b>a)， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

　　

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

　　∴ ∠HDA = ∠EAB.

　　∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，

　　∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

　　∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于

.

　　∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

　　∠HEF = 90o.

　　∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于

.

　　∴

.

　　∴

.

　　【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)

　　以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

　　∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

　　∴ ∠ADE = ∠BEC.

　　∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,

　　∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

　　∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.

　　∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于

.

　　又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,

　　∴ AD∥BC.

　　∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

.

　　∴

.

　　∴

.

　　【证法5】(梅文鼎证明)

　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.

　　即 ∠CBD= 90o.

　　又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　

，

,

∴

。

　　【证法6】(项明达证明)

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M;再过点

　　F作FN⊥PQ，垂足为N.

　　∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC，

　　∴ ∠MPC = 90o，

　　∵ BM⊥PQ，

　　∴ ∠BMP = 90o，

　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.

　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，

　　∴ ∠QBM = ∠ABC，

　　又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，

　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

　　从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).

　　∴

.

　　【证法7】(欧几里得证明)

　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.

　　∵ AF = AC，AB = AD，

　　∠FAB = ∠GAD，

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

　　∵ ΔFAB的面积等于

，

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

　　∴ 矩形ADLM的面积 =

.

　　同理可证，矩形MLEB的面积 =

.

　　∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

　　∴

，即

.

　　【证法8】(利用相似三角形性质证明)

　　如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是点D.

　　在ΔADC和ΔACB中，

　　∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，

　　∠CAD = ∠BAC，

　　∴ ΔADC ∽ ΔACB.

　　AD∶AC = AC ∶AB，

　　即

.

　　同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有

.

　　∴

，即

.

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