纺织高校基础科学学报990210

纺织高校基础科学学报 BASIC SCIENCES JOURNAL OF TEXTILE UNIVERSITIES 1999年 第12卷 第2期 Vol.12  No.2 1999

偶变元超双曲型方程解
的中量满足的积分方程

冀礼鹏　王国正

　　摘要　通过基本解与基本公式,给出了偶变元常系数超双曲型方程解的中量,并指出了解的中量满足的积分方程.
　　关键词　超双曲型方程　解的中量
　　中图分类号　O 174.56　　

The Integral Equation Satisfied by the Mean Value of the
Solution to even Variable Ultra-hyperbolic Equation

Ji Lipeng　Wang Guozheng

(Dept.of Basic Sci.,Air Force Telecommunications Engineering Institute,Xian 710077,PRC)

　　Abstract　By using the elementary solution and the fundamental formula of the ultra-hyperbolic eqution,the solutions mean value of the even variable ultra-hyperbolic equation with constant coefficient and the integral equation which the solutions mean value satisfied were given.
　　Keywords　ultra-hyperbolic equation,mean value of the solution

　　建立解的中量并研究其中量性质,进一步建立解的拓展性,从而统一讨论各类定解问题的适定性和不适定性,这是研究超双曲型方程的一条重要途径.

1　基本解

　　一般的常系数超双曲型方程总可以化为如下形式^［1］：

,　　　　(1)

其中c为常数,m,n≥2.
　　由文献［2］知,若m+n为偶数,则方程(1)具有基本解,

v=V(Γ)/Γ^(m+n)/2-1-U(Γ)lnΓ,　　　　(2)

其中

2　基本公式

　　由于方程(1)是自伴的,现取u为其正规解,v为其基本解,则有基本公式^［3］：

　　　　(3)

其中

,n₁、n₂为S₁、S₂的内法线方向,pf表示取瑕积分的有限部分.

3　解的中量

　　定义1　设

,则称

　　　　(4)

为方程(1)的解在

上的中量.
　　定理1　超双曲型方程(1)的解的中量M(r,s)满足积分方程

　　证明　在(3)式中,注意在S₁上,有

.

则(3)式左端可化为:

其中S₁₁是适合

(x_i-x⁰_i)²=r²,y_j满足

(y_j-y⁰_j)²≤s²的任意点,V₁₁是适合

(y_j-y⁰_j)²≤s²的点.令x_i=x⁰_i+rα_i,则沿S₁₁的积分可以化为单位球Ω_α:

α²_i=1上的积分,沿V₁₁的积分可先计算沿球面

(y_j-y⁰_j)²=σ²的积分,然后由0到s积分,并做代换y_j-y⁰_j=σβ_j,则有:

同理可得右端.

参考文献

[1]　柯朗*希尔伯特著.数学物理方程.熊振翔译.北京:科学出版社,1977.97～105
[2]　Wang Guozheng.The explicit solution of ultra-hyperbolic equation.四川师范大学学报,1991;14(1):61～63
[3]　凌岭.超双曲型方程.西安:西北大学出版社,1987.32～34