数学的用处（三）

人类自从有了智慧以来，一直以概念来描述世间万物。首先，我们给身边的每样物体起名字，天，地，日，月，山，水，风，雨，都是独一无二的具体概念。渐渐地，名字太多不好记，就开始以组合的方式命名。比如说，取两件事物相关联的特征来指第三件事，暴雨落于田野，声音很大，于是起了个名字叫“雷”，亮的东西，就像那太阳和月亮，于是就起了个名字叫“明”，等等。

在这种方式下，每个名字都渐渐丢失了原本具体事物的个性，而变成了很多事物共通的特征。在特征上研究而得到的规则和逻辑，能应用于所有具有这特征的事物，因此有极强的推广能力，所谓“举一反三”是也。比如说，知道了“一加一等于二”，我们就知道一枚硬币加一枚硬币是两枚，一个苹果加一个苹果是两个，任何单个同种物体相加都是两个。加和之后的数量，只和加和前的物体数量有关，和物体的其它特征，比如说方的，圆的，红的，绿的，是没有关系的。

日常概念，比如说数量，颜色，形状，大小，用自然语言都能解释明白，逻辑也清楚，数学在这里就显得“没什么用”；但如果要从日常抽象出的概念中，再一次地抽出共同的特性来加以理解和分析，即所谓的“抽象的抽象”或是“高层抽象”，数学就有大威力。它的精确简洁，恰好击中了日常概念模糊冗长的命门，就可以在坚实的基础上，建起高层抽象的大厦，并且仍然能保持严格的逻辑自洽性，不会出错。

一个经典例子，是求解多元线性方程组。一元（像4x=12)是小学生课程，两元（像求两直线交点）是初中生课程，三元以上就会令高中生们头痛了，因为求解的过程漫长凌乱（我相信这是很多人恨数学的原因）。到了大学的线性代数课，矩阵粉墨登场，利用高斯消元加上克莱姆法则，一下子就可以解任意多未知数的线性方程组。

别看我们只学了半年一年，历史上这一步质的飞跃，花费千年。中国人试过，印度人试过，阿拉伯人试过，最后欧洲人终于建立了完整的体系，使这一问题得以彻底解决。今天我们能看见火箭上天，能开着汽车到处走，能造出芯片，能玩3D游戏，能看高清的数码电影，全要拜它所赐。从此以后，我们不用像高中生那样为解一个三元一次方程组写一黑板的推导，而只要在Matlab里写一行就可以了：

x=A\b。

漂亮不？有了矩阵，我们的思维就不再挣扎纠结于四则运算细节，因为简洁有效的矩阵运算（二级抽象）自然包含了繁杂的加减乘除（一级抽象）。大脑解放了之后，就可以腾出空间来寻找更高级别的规律，新一层的抽象就又开始了。比如说，脱开解线性方程组这个具体应用背景，而单纯考虑矩阵和向量运算的各种性质，我们看见了它的线性特征和几何对应，于是就有了线性算子的概念，特征值的概念；考虑矩阵之间的加法和乘法运算结构，我们可以抽象出群和环的概念。数学的大厦，就是这样建立起来的。

另一方面，高层抽象的成功构造，反过来会影响作为其基础的日常概念的选择。理论是发展的，在发展过程中各种概念可以提很多，但是有用的概念需要经过时间的检验，其中一种检验方式，就是看这个概念能在将来的体系中走多远。从牛顿力学发展到相对论和量子力学的这个过程中，有些物理概念虽然很直观，但在更广泛的情景下无法推广（比如说“力”），于是就渐渐废弃；有些概念初看起来很奇怪，但后来被发现在各种情况下都找得到它的影子（比如说“动量”），那就大行其道。为什么我们有碳氢氧的概念，却没有“燃素”的概念，因为前者导致了化学这一体系的诞生，而后者的结论都被实践否定，像一篇没有后续工作的文章，渐渐被人遗忘。

有人就会问了，大部分高级抽象和我们平时的工作没啥关联，有必要学习它们么？答案是：确实没有必要（笑）。数学家们把这种抽象过程当作游戏，自得其乐地在那里不停地发文章；而我们工科生要解决实际问题，要以最小的代价命中问题的要害，只取所需要的部分就行。虽然如此，但是——

学会这样一种自下而上的，多级抽象的思考方式，个人认为是数学带给我们的最重要财富。

有效率的思维，是像一束激光，在合适的时候聚焦于问题关键点，而忽略细节；等解决完了，再重新分析，迅速切换到下一个关键点，几个关键点一解决，纲举而目张，问题自然解决。而关键点如何选择，大节如何把握，细节如何忽略，就是需要不停磨练的艺术。每次细节复杂，逻辑关系混乱的时候，不是拼耐心把它们全都解决，而是移开目光，朝天仰望，想一想其中有什么最重要的成分，把他们抽出来反复理解，按照重要和次要排序，最终理顺关系，再开始动手。

在这一点上，发展几百年的数学体系给了无数的范例可供欣赏。每一个公式或是定理，都是去粗存精后的结晶，都让人惊喜于巧妙而简洁的假设，有趣却严格的分析，和精致而广泛的结论。理解了这些，才真正体会到何谓数学之美——

数学不是令人生畏的满屏公式，不是折磨人的重复计算，是有关“如何对概念进行抽象”的精巧艺术。